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notion d'extremum (2 variable)



  1. #1
    nabbla

    notion d'extremum (2 variable)


    ------

    Bonjour à tous,

    Voilà mon probléme,
    Dans certain exercice, sur les fonction à plusieurs variables, il est demandé d'étudier les extemums de certaines fonction,

    par exemple pour une fonction f(x,y) de dire si un point est un extremum, en premier lieu on étudie si ce point en question est un point critique pour f, mais je voudrai savoir si un point critique pour f implique que ce point est un extremum? En effet dans certain cas un point critique n'est pas un extremum, cela ce vérifie en étudiant la nature du point, mais si la question et de dire si un point est un extrmum (sans étudier la nature de celui ci), peut on se limiter à dire "oui c'est un extremun" juste en vérifiant que le point annule les dérivée partielle de f.

    pour imager mes propos, dans certain de mes exo, il est demander de répondre par oui ou non à la question : le point (a,b) est il un extremum ? (sans en étudier la nature)

    Alors est il faux de dire que c'est un extremum si c'est un point critique?

    -----

  2. #2
    ixi

    Re : notion d'extremum (2 variable)

    Salut,

    oui je pense que c'est faux.
    Un cas simple: prends la fonction f(x)=x^3
    x=0 annule la dérivée de f donc, par analogie, 0 est un point critique, pourtant ce n'est pas un extremum.

    Si mes souvenirs sont bons, il faut calculer la matrice hessienne pour savoir si le point est un extremum ou bien une "selle de cheval" ou autre.....
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)

  3. #3
    ixi

    Re : notion d'extremum (2 variable)

    Oui, je viens de vérifier,

    une condition suffisante d'extremum local:
    Si A est un point critique et la matrice hessienne de f en A est défini-positive (resp négative), alors A est un minimum (resp maximum) local strict de f.
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)

  4. #4
    nabbla

    Re : notion d'extremum (2 variable)

    oui, intuitivement je pensais ca aussi, mais l'ambiguité est dans la question "répondre par oui ou non", donc obligé d'étudier la nature du point, pour l'étude de la nature j'ai juste appris à le faire en étudiant le signe du polynome homogéne.

    merci de ta réponse.

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