Bonjour,

Je suis conscient d'attaquer un sujet difficile, mais je coince vraiment, donc je fais appel à vos cultures/bibliotèques/références respectives...

J'ai un espace vectoriel V (sur Q, mais il est facile de montrer que sur R ou C ça ne changerait rien) muni d'une forme quadratique q dont on sait juste qu'elle admet une base de vecteurs non isotropes. Et un groupe W, engendré par les symétries orthogonales le long des vecteurs de base. Dont j'exige:
Tout vecteur de l'espace V a une orbite finie sous l'action du groupe W.
Ce dont je voudrais pouvoir déduire que le groupe W est fini. Voilà plus de 15 ans qu'on me dit que "la finitude des orbites n'implique pas la finitude du groupe", ce qui est exact. En fait, ce résultat est connu sous le nom de "conjecture de Burnside" et a été démontré par Schur en 1911 (wikipédiez pour "conjecture de Burnside"). En fait ce que Schur a démontré est:
Pour n fini, tout sous-groupe de GL(n,C) d'exposant fini est nécessairement fini.
Ce qui suffit largement à mon propos. Mais comme j'utilise des produits un peu tordus de tels groupes pour en déduire des topologies fractales, j'aimerais avoir une vision plus claire de ce qui permet de passer d'un groupe qui a tout pour être fini à un groupe qui ne l'est pas, juste parce qu'il accepte des exceptions? L'article de Schur a été publié dans un journal qui n'est plus disponible actuellement, et mes tentatives de démonstration ne me donnent que de piètres pistes...

Je vous remercie par avance des tuyaux que vous pourriez m'indiquer.

-- françois