Analyse Complexe M1 exp(z) = cz

invite744f3bac · 29/04/2007, 12h41

Bonjour,

Les examens approchant, je révise, et essaie de faire un sujet de l'an dernier d'Analyse complexe. Mais je bloque vraiment sur un exercice dont voici l'énoncé :

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
Soit l'équation d'inconnue $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

Montrer que cette équation admet une unique solution dans l'ouvert $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$
On nous suggère d'utiliser les fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Donc il faut montrer que f a un zéro unique dans $\text{[math]}$ .
On sait que : $\text{[math]}$ équivaut à : il existe $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$

En remplaçant $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ , je n'arrive pas à grand chose.

J'ai essayé en écrivant z sous forme polaire, ou sous la forme $\text{[math]}$

J'ai essayé de dériver f pour voir ce que ça donnait :
$\text{[math]}$ , et c'est facile de résoudre $\text{[math]}$ , mais je ne vois pas à quoi ça avance !

Je vois bien où doit intervenir le fait que $\text{[math]}$ , car dans ce cas, $\text{[math]}$ , mais ensuite ?

Et je n'ai plus d'autres idées...Si quelqu'un pouvait me donner une piste, me guider. Je vous en serais reconnaissant.

Merci d'avance pour vos réponses.

Pdams

**invited5b2473a** · 30/04/2007, 19h44

Je ne suis pas sûr mais s'il y a deux solutions alors entre les deux, il y a un zéro de f' i.e. c=e^z. Or ce z est aussi dans D. Donc e<|c|=e^|z|=e^Re(z)<=e! Absurde.

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Re : Analyse Complexe M1 exp(z) = cz

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