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Double transformée de Legendre d'une fonction



  1. #1
    gatsu

    Double transformée de Legendre d'une fonction


    ------

    Bonjour,

    Je viens de lire que la double transformée de Legendre (notée ) d'une fonction S de classe C² disons était l'enveloppe concave de cette fonction. Où on définit la transformée de Legendre par :

    Je ne vois pas comment on fait pour démontrer ce théorème d'autant que je ne sais pas ce qu'est l'enveloppe concave d'une fonction

    Est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ?

    Merci d'avance pour vos réponses !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : Double transformée de legendre d'une fonction

    Salut,
    d'autant que je ne sais pas ce qu'est l'enveloppe concave d'une fonction
    Idem...

    A tout hasard, tu es sûr qu'il ne s'agit pas de l'enveloppe convexe ?

    Et peut-être que l'enveloppe concave est le complémentaire de l'enveloppe convexe ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    gatsu

    Re : Double transformée de legendre d'une fonction

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,
    Idem...

    A tout hasard, tu es sûr qu'il ne s'agit pas de l'enveloppe convexe ?

    Et peut-être que l'enveloppe concave est le complémentaire de l'enveloppe convexe ?

    Cordialement.
    je pense que c'est ça, d'autant que d'après ce que j'ai pu comprendre la transformée de legendre définie dans mon premier message est "l'opposée" de la définition usuelle en analyse convexe c'est à dire


    Donc est ce que tu peux m'aider ?

  5. #4
    rvz

    Re : Double transformée de legendre d'une fonction

    Salut,

    En fait, je pense que c'est plutot

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    L'enveloppe concave de la fonction f est la plus petite fonction concave qui majore f.

    Dans ton cas, il suffit de vérifier
    1/ S** >= S
    2/ S** est concave.
    3/ S** est la plus petite fonction satisfaisant ces 2 propriétés: Pour se faire, je te suggère de vérifier que si S est concave, alors S**= S, puis regarder la croissance de l'opération *. Tu devrais facilement pouvoir montrer que S1 <= S2 implique S1** <= S2**.
    La clé est l'inégalité de la tangente, qui dit qu'une fonction concave est en-dessous de sa tangente partout, et qu'il y a égalité en un point (normal c'est la tangente !).

    PS: Pour de plus amples commentaires sur ça, il y a de nombreux livres sur l'anayse convexe, et je suppose que de très bons cours sont aussi disponibles sur internet.
    __
    rvz

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gatsu

    Re : Double transformée de legendre d'une fonction

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    En fait, je pense que c'est plutot



    L'enveloppe concave de la fonction f est la plus petite fonction concave qui majore f.

    Dans ton cas, il suffit de vérifier
    1/ S** >= S
    2/ S** est concave.
    3/ S** est la plus petite fonction satisfaisant ces 2 propriétés: Pour se faire, je te suggère de vérifier que si S est concave, alors S**= S, puis regarder la croissance de l'opération *. Tu devrais facilement pouvoir montrer que S1 <= S2 implique S1** <= S2**.
    La clé est l'inégalité de la tangente, qui dit qu'une fonction concave est en-dessous de sa tangente partout, et qu'il y a égalité en un point (normal c'est la tangente !).

    PS: Pour de plus amples commentaires sur ça, il y a de nombreux livres sur l'anayse convexe, et je suppose que de très bons cours sont aussi disponibles sur internet.
    __
    rvz
    ok merci je vais essayer de voir ça

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