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Inverse d'une transformée de Laplace



  1. #1
    Koranten

    Inverse d'une transformée de Laplace


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai un problème de mécanique à résoudre par la méthode de Laplace. Je butte sur l'inversion à la fin:

    Mon système se modélise comme suit (SDOF non amorti excité par une rampe):

    m*d²x/dt² + kx = a*t

    La transformée de Laplace donne:

    ms²*X(s)+k*X(s)=a/s²

    X(s)*(ms²+k)=a/s²

    (J'ai bon? Les CI valent 0)

    Donc ma solution dans l'espace de Laplace est:

    X(s)=a/[(ms²+k)*s²] soit au final:

    X(s)=a/(ms^4+ks²)

    Je suis donc bloqué pour inverser cette transformée de Laplace pour revenir dans le monde "réel" (temporel).

    J'ai bien essayé une décomposition en éléments simples mais avec ms²+k je me retrouve avec un coefficient complexe ce qui ne m'amuse pas des masses...

    J'ai vu des applets qui font les inversions mais je leur fais très moyennement confiance...

    Quelqu'un pourrait-il m'aider?

    Merci d'avance!

    -----

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  3. #2
    IceDL

    Re : Inverse d'une transformée de Laplace

    Citation Envoyé par Koranten Voir le message
    J'ai bien essayé une décomposition en éléments simples mais avec ms²+k je me retrouve avec un coefficient complexe ce qui ne m'amuse pas des masses...
    Cela marche aussi :





    avec et



    Moi je trouve :



    Et donc :





    Cordialement,
    Dernière modification par IceDL ; 18/04/2007 à 16h16.

  4. #3
    Koranten

    Re : Inverse d'une transformée de Laplace

    Merci beaucoup, en effet cela semble fonctionner.

    En effet, j'ai utilisé les outils symboliques de Matlab pour trouver la solution qui ressemble bien à la vôtre, puis j'ai tracé la solution de Matlab et la vôtre, et ce sont bien les mêmes.

    Il y a juste un truc bizarre: avec la solution Matlab, au moment du calcul puis du tracé, il me dit qu'il ignore les parties imaginaires, avec votre solution, pas de message de ce type.

    Au final, j'ai les mêmes tracés.

    Il ya juste une petite erreur dans votre calcul, enfin me semble t-il:

    w0 vaut racine de k/m et non racine de a/m... non?

    En cadeau, le tracé de la solution qui ondule et de la rampe d'excitation!

    Encore merci!
    Images attachées Images attachées

  5. #4
    Koranten

    Re : Inverse d'une transformée de Laplace

    Hum, désolé de revenir là dessus, mais je n'arrive pas à retrouver vos résultats de la décomposition en éléments simples, je crois que je me suis bien rouillé... Pourriez-vous m'indiquer quelques étapes intermédiaires?

    Encore merci !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    IceDL

    Re : Inverse d'une transformée de Laplace

    Citation Envoyé par Koranten Voir le message
    Il ya juste une petite erreur dans votre calcul, enfin me semble t-il:

    w0 vaut racine de k/m et non racine de a/m... non ?
    Oui, petite faute de frappe...

    Citation Envoyé par Koranten Voir le message
    Pourriez-vous m'indiquer quelques étapes intermédiaires?
    Of course,



    se décompose en éléments simple sous la forme :




    Calcul de

    On calcule que l'on évalue au pôle 0, ce qui donne :




    Calcul de

    On calcule que l'on évalue au pôle , ce qui donne :




    Calcul de

    On calcule que l'on évalue au pôle , ce qui donne :




    Calcul de :

    0 étant un pôle double, il faut ruser ; j'utilise la méthode suivante :

    On calcule et l'on cherche sa limite quand qui vaut avec la décomposition en éléments simples, et 0 avec la formule non décomposée (ou avec le théorème de la valeur initiale...).

    D'où

    Au passage, ce dernier résultat est évident puisque le terme représente la transformée de Laplace d'un échelon, autrement dit d'une constante. Or cette constante est forcément nulle (les conditions initiales sont nulles).

    Voilà,

  8. #6
    Koranten

    Re : Inverse d'une transformée de Laplace

    Merci beaucoup.

    Ce forum est assez génial: on a un petit problème en maths et ya toujours un démineur ici prêt à aller au charbon.

    Harpic, place aux experts!

    Merci encore!

    PS: j'ai bien fait de demander, parce que le coup de la "ruse", je le sentais venir et je me souvenais vaguement de comment ça marchait, mais honnêtement, je n'aurais pas réussi!

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