problème de puissance et modélisation

[ketchupi]

BOnjour à tous,

j'ai un petit problème de puissance en écrivant une équation sous sa forme discrète.

j'ai notamment un terme de la forme :

que j'aimerais donc, vous l'avez compris, écrit sous forme de différences finies.

le problème est dans la double dérivée. J'ai plusieurs méthodes et je ne sais pas laquelle choisir.

1ère méthode :
Je pourrais par exemple développer, ce qui me donnerait :



et je connais l'expression des différences finies du premier et du 2ème ordre.

2ème méthode :

je remarque que
mais je ne vois pas comment écrire sous forme de DF le premier terme.

3ème méthode :

je moyenne sur un pas d'espace, c'est-à-dire que j'écris :

sous la forme


Voilà, je ne sais pas trop quoi choisir, moi-même n'étant pas mathématicien. Pourriez-vous me donner un conseil ?
-----

[rvz]

Salut,

A priori, toutes les discrétisations que tu as écrites sont valables, et donc le choix te revient. Cela dit, il doit y avoir des dicrétisations d'ordre plus grand que d'autres. Pour regarder laquelle est la meilleure, il faut faire des DL au voisinage de i et regarder lequel te fait sortir la plus grande puissance.

__
rvz

[ketchupi]

Merci rvz, cependant, je viens d'écrire une nouvelle méthode pour écrire ces deux dérivées successives, mais j'aimerais ton, et a fortiori, vos avis.
En fait j'utilise la première méthode, mais je me suis rendu compte que j'avais commis une erreur. En fait le développement s'écrit :


j'avais donc oublié la dérivée première au carré. Le problème revient donc à exprimer ce terme. A priori, je peux écrire un DL de f à l'ordre 2 :



et donc

d'où

j'ai donc maintenant l'expression de toutes mes dérivées, même la dérivée au carré. Ma question est donc : ce développement est-il correct ? Le calcul, puis l'utilisation du carré du DL sont-ils valides ?

De plus, je remplacerai le produit f(x).f'(x) par :


Est-ce également possible ?

Je vous remercie beaucoup.

[ketchupi]

Quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?

Merci beaucoup, et bonne journée à tous !

[A voir en vidéo sur Futura]

[rvz]

Merci rvz, cependant, je viens d'écrire une nouvelle méthode pour écrire ces deux dérivées successives, mais j'aimerais ton, et a fortiori, vos avis.
En fait j'utilise la première méthode, mais je me suis rendu compte que j'avais commis une erreur. En fait le développement s'écrit :

Attention, tu as oublié une puissance, si je ne m'abuse. Certainement une coquille, mais bon.

et donc

Attention : h^2* truc +O(h^2) ne resneigne pas sur la valeur du truc...
En fait, je pense que le mieux est
1/ d'évaluer f'(x) par exemple avec

2/ élever ça au carré

Sinon, tu sembles avoir compris les idées, et après tout c'est ce qui compte

Mais faudra faire gaffe au dl...

Bon courage,
__
rvz

[ketchupi]

Alors, d'après tes conseils, mathématiquement, cela signifie que si j'approxime la tangente de la fonction au point h, alors l'approximation de la tangente au point h de la fonction est le carré de la tangente.
Je vais essayer. J'avais pensé à implémenter cette approximation simpliste, mais ça me semblait trop simple...
En tout cas je te remercie sincèrement.