Topologie dans lR

[invite60ce709c]

salut les gens
dans mon programme a l'unif on a commencé un peu la topologie dans lR donc c'est pour vous dire que je debute et que j'ai un peu du mal pour l'instant.

enfait l'exo que je fait (du moins essaye) est le suivant:

parmie les sous-ensembles suivants de lR, lesquels sont ouverts? fermés? ni l'un, ni l'autre?

- U ]1/(2n+1);1/(2n)[ , n dans lN*
- U [2n;2n+1] , n dans lZ

(y'en a d'autres mais on va commencer avec ça)

dans mon cour je sais la definition d'un ouvert, d'un fermé et que la reunion d'ouverts est ouvert et que l'intersection de fermés est fermés

je voudrais savoir si avec le peu de chose que je sais cela me suffit pour resoudre les exos? si non que me faut-il d'autres pour faire l'exo?

en bonus si vous pouviez m'expliquer pourquoi les l'union d'ouverts est ouverts et pourquoi l'intersection de fermés est fermé.

voila et merci

ps: je trouve facilement que le premiers est ouvert avec la definition du cours mais pour expliqué je saurais pas.
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[invite7553e94d]

- U ]1/(2n+1);1/(2n)[ , n dans lN*
- U [2n;2n+1] , n dans lZ

je sais que la reunion d'ouverts est ouvert et que l'intersection de fermés est fermés

Dans ce cas le premier ne pose pas de problème. Pour le second, regarde son complément dans R

[invite74530667]

je voudrais savoir si avec le peu de chose que je sais cela me suffit pour resoudre les exos? si non que me faut-il d'autres pour faire l'exo?

Oui ces outils suffisent.

en bonus si vous pouviez m'expliquer pourquoi les l'union d'ouverts est ouverts et pourquoi l'intersection de fermés est fermé.

c'est justement dans la définition d'une topologie. Je la retranscris ici:

Soit E un ensemble, et T une famille de parties de E (donc un sous ensemble de l'ensemble P(E) des parties de E) vérifiant les propriétés suivantes:

1- E et l'ensemble vide appartiennent à T,
2- T est stable par union quelconque,
3- T est stable par intersection finie.

On appelle espace topologique le coupe (E,T), et T est dit l'ensemble des ouverts de cette topologie définie sur E.

(Tu peux chercher à retrouver à quoi correspond T dans ta situation où E=lR).

Le fait qu'une union quelconque d'ouverts est un ouvert est simplement le point 2 de la définition. Lorque l'on passe au complémentaire dans E tous les éléments de T, on tombe sur l'ensemble des fermés de la topologie, et par complémentation, les opérateurs d'union et d'intersection sont interchangées. Donc c'est encore du point 2 que provient le fait qu'une intersection quelqconque de fermés est encore fermée.

ps: je trouve facilement que le premiers est ouvert avec la definition du cours mais pour expliqué je saurais pas.

Chacun des ensembles de l'union est ouvert. Or par définition une union quelconque d'ouverts est ouvert, donc ...

[invite60ce709c]

et le complementaire du 2) c'est:

U ]2n;2n+1[????
parce que je crois que (c=complementaire):
c([a;b[)=c(]a;b])=c(]a;b[)=[a;b] vrai?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cf21bce]

Salut !

et le complementaire du 2) c'est:

U ]2n;2n+1[????
parce que je crois que (c=complementaire):
c([a;b[)=c(]a;b])=c(]a;b[)=[a;b] vrai?

Pas exactement, fais plutôt un dessin de et regarde le complémentaire.

Le complémentaire de [a;b[, c'est ... Tu dois confondre avec l'adhérence.

Taar.

[invite60ce709c]

ok je crois que le schema est beaucoup plus parlant

dites moi si je me trompe

le complementaire du 2) est

U ]2n+1;2n+2[ ?????

[invited5b2473a]

Pas du tout.