mathématiques analyse

[inviteebdc2641]

Bonjour, je suis en licence Economie-Droit et je voudrais avoir un renseignement en mathématiques analyse sur un exercice.

On considére la suite (U n) définie par U 0= 1/
U n+1 = 1/2 Un + 1/4

Les questions sont :
1. Exprimer pour tout n appartenant à N (entiers), U n en fonction de n
2. calculer la limite de Un quand n tend vers + infini

Réponse que j’ai pu apporter
Nous avons à faire à une suite arithmético géométrico

Donc U n+1 = a U n + b
Recherche du point fixe l = a * l +b d’où l = b/ (1-a)

1 .Soit V n une nouvelle suite Vn= Un – l
V n+1 = a Vn suite géométrique
V0 = U0 – l de raison a (1/4 ???je ne sais pas)
Donc Vn = V0 * a^n et Un = l + (U0 – l) * a^n
2. lim = 1/4 (je ne sais pas)

Voila ce que j’ai pu tirer comme conclusion .
Pouvez vous m’aider s’il vous plait

Merci beaucoup pour votre aide
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Gwyddon

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[invitec053041c]

Bonsoir.
Tu as eu le bon réflexe de penser au point fixe que l'on peut noter a

Alors Vn=Un-a est géométrique de raison 1/2.
Calcule donc Vn+1/Vn et tu verras
Donc
Tu déduis V0 de U0 facilement, et tu as donc Un en fonction de n en passant a de l'autre côté.
Cordialement.

[invite4eb5b5d4]

salut je pense que tu doit trouver une relation de recurrance entre les U(n) car : on a u(o)=1 et u(n+1)=1/2 u(n) + 1/4

alors : u(1)=1/2 u(0) + 1/4
u(2)=1/2 u(1) + 1/4 = 1/2( 1/2 u(0) +1/4 ) +1/4
u(3)=1/2 u(0) + 1/4 = 1/2 [1/2 (1/2 u(0) +1/4)+1/4 ] +1/4
.. .. .. .. .. .. .. .. .. u(n)=(1/2)puissance n x u(0) + (1/2)puissance n-1 x (1/4) +(1/2) puissance n-2 x (1/4) + 1/4 dsl c j'ai po bien presenter mn idee car je suis encore debutant ds le site et je vous informe que c juste mn idee et je suis po sur que ca vas marcher

[invite4eb5b5d4]

salut je pense que tu doit trouver une relation de recurrance entre les U(n) car : on a u(o)=1 et u(n+1)=1/2 u(n) + 1/4

alors : u(1)=1/2 u(0) + 1/4
u(2)=1/2 u(1) + 1/4 = 1/2( 1/2 u(0) +1/4 ) +1/4
u(3)=1/2 u(0) + 1/4 = 1/2 [1/2 (1/2 u(0) +1/4)+1/4 ] +1/4
.. .. .. .. .. .. .. .. .. u(n)=(1/2)puissance n x u(0) + (1/2)puissance n-1 x (1/4) +(1/2) puissance n-2 x (1/4) + 1/4 dsl c j'ai po bien presenter mn idee car je suis encore debutant ds le site et je vous informe que c juste mn idee et je suis po sur que ca vas marcher

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5c80e8b0]

On peut observer le phénomène suivant :

U(0) = 1
U(1) = 1/2+1/4 = 3/4
U(2) = 2/4+1/8
U(3) = 2/4+1/16
U(4) = 2/4+1/32
U(5) = 2/4+1/64 ( etc ... )

On peut donc a priori déduire la formule suivante ( du moins ça ne semble pas totalement idiot ) :

U(n) = 1/2+ 0.5^(n+1)

Supposons que la propriété est vraie au rang n


U(n) = 1/2+ 0.5^(n+1)

donc, on a U(n+1) = 0.5* [ 1/2+ 0.5^(n+1) ] + 1/4
= 1/2+0.5^(n+2)

La propriété est vraie pour tout n,
et on voit facilement que la suite tend vers 1/2.