Equation balèze mais vachement connu

[invite75702840]

Voila, j'ai à résoudre une équation qui m'a l'air d'être un classique mais elle m'a l'air d'être assez compliquée aussi.

Je dois résoudre x^y=y^x dans R*+, N et Q*+.

Bon, une solution évidente est x=y.

Dévelloppement:
x^y=y^x
xlny=ylnx
(lnx)/x=(lny)/y
x^(1/x)=y^(1/y)
et arriver ici je bloque, il doit avoir une histoire d'inverse ou d'élément neutre.

Sinon j'ai essayé aussi une méthode graphique en 2D, ce qui m'a permis de conclure que dans N, il n'y qu'une seule solution, c'est le couple (2;4) et j'ai aussi réussi a représenter un graphique en 3d avec pour paramètres x=x, y=y et z=(x/y)-((lnx)/(lny)) et puis faire une coupe pour x=0.

Un autre couple qui marche est (3;2,47779...).

Si quelqu'un pouvait m'aider à trouver une formule générale ou m'expliquer comment on résoud cette équation cela serait sympa.

Merci
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[inviteccb09896]

une question classique d'un problème classique. Faut utiliser le théorème des fonctions implicites.

[invitedebe236f]

ca revient a tracer la courbe y =x/ln(x)
pour chaque y il y a 2 x possible qui sont le resultat

point remarquable exp(1) bien sur x =exp(1) y = exp(1)
et 1 x= 1 y =1

si quelqu un a superbe equation pour trouver les resultats qu il n hesite pas

[invite43f8e83d]

bjour, pour proposer une formule, il faudrait connaître la fonction inverse de y=x/lnx
et à mon avis, on ne sait pas faire....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Bonjour,
A effacer en fait tu as déjà fait tout çà
Désolé

[invite75702840]

On a résolu cette équation en classe et donc sur N*, j'avais trouvé la solution (mais bon c'était le plus facile).

Sur R*+, il y a une démonstration de fou.
On obtient les solutions paramétriques
S = ( (t^(1/(t-1)),t^(t/(t+1)) ), t € R*+ \ (1) ).
Et ceci n'est que le début de la démo.
Elle abouti finalement à la construction d'une courbe donnant les solutions.

Sur Q*+, la solution est
S = ( (1+(1/q))^q,(1+(1/q)^(q+1), q € N* ).
La aussi il ya une démo de fou.

J'espère que ces solutions sont lisibles, si vous voulez les démos ou plus de détails, j'essaierais de les donner ( je n'ai pas très bien compris la démo que l'on a eu pour correction ). Et si vous la voulez en intégrale contactez moi et je vous l'enverais par e-mail. La démonstration fait quand même une page pour la version courte et écrite en tout petit et une copie double pour la version explicite.