Equation simple mais impossible...

[invite13b423f5]

Bonjour

J'ai une equation que je n'arrive pas a resoudre :

Pour tout x>0 , 1+x²-2x²(L+ln(x)) = 0 avec L appartenant a R

Merci de m'aider
Je vois vraiment pas comment faire...
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Il faudrait peut-être préciser un peu l'énoncé... C'est quoi l'inconnue? En principe ce serait x, et L serait un paramètre réel. Et si c'est x, alors on ne peut pas avoir "pour tout x > 0" devant l'équation! Disons qu'on cherche x > 0 tel que machintruc = 0 (sinon ln(x) ne serait pas défini).

Et dans ce cas, je ne vois pas de solution simple (et Maxima non plus d'ailleurs ).

-- françois

[Jeanpaul]

L'inconnue, c'est x ou L ? Si c'est le second cas, on sait faire, sinon on ne sait pas.

[invite13b423f5]

Ben c'est x forcement et L le parametre...
Donc on ne pas pas faire ?
A moins de trouver une solution evidente et de faire une analyse synthese ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[edpiste]

Le chgt de var permet de réécrire l'équation sous la forme



Il faut ensuite inverser la fonction mais cette fonction inverse ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles...

[The Artist]

Salut,
L'étude de la fonction dérivée f'(x) montre que la fonction f(x)= 1+x²-2x²(L+ln(x)) admet un minimum pour exp(-L) qui vaut 1+exp(-2L)>0 donc pour tout x>0 ton équation n'admet aucune solution réelle.
A+

[invite35452583]

Bonjour,
si cette équation admet une solution unique (par contre, expression? sans doute impossible à exprimer avec les fonctions usuelles).
Limite en x=0+ f(x)=1
limite en x= (x)=-
Le "minimum" est un maximum (en plus il y a erreur sur la valeur de x0 et de f(x0)).

[The Artist]

Euhh non :

lim en x=0+ f(x)=1
lim en x=+oo f(x)=+oo

[The Artist]

Ouuuups pardon homotopie a bien raison ; j'ai fait une erreur de signe :-/

[invite35452583]

Bonjour,
toutes mes désoles aussi, j'ai fait le calcul avec 1+x²-x²(L+ln(x))
Pour la valeur de x0 (abscisse de l'extremum) The Artist a raison.

[ericcc]

Il existe des solutions pour L strictement positif; pour les trouver, il faut utiliser la Fonction de Lambert (ProductLog dans certains logiciels)
La réponse est alors

+/- 1/rac(productlog(exp(2L)-1))

[invite636fa06b]

Il existe des solutions pour L strictement positif; pour les trouver, il faut utiliser la Fonction de Lambert (ProductLog dans certains logiciels)
La réponse est alors

+/- 1/rac(productlog(exp(2L)-1))

Bravo mais je ne comprends pas le passage de l'équation de départ à ton résultat
C'est comme pour le changement de variable d'edpiste (message 5) ??

[invite636fa06b]

Bravo mais je ne comprends pas le passage de l'équation de départ à ton résultat
C'est comme pour le changement de variable d'edpiste (message 5) ??

Désolé, j'avais mal vu c'est juste un problème parenthèse mal placée :
+/- 1/rac(productlog(exp(2L)-1)))

[ericcc]

Oui mes excuses. Donc il faut L>1/2

[phadeb]

Normalement la solution est inverse au produit de fonctions logs.

Pour aller plus loin, il est intéressant ici de plaquer un théorème de fonctions implicites et naturellement d'en calculer les dérivées implicites ^^ (au niveau économique je précise)