Relation rang et det d'une matrice
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Relation rang et det d'une matrice



  1. #1
    invite16cc45c7

    Relation rang et det d'une matrice


    ------

    Bonjours,

    Est-ce qu'on peut dire qu'une matrice nxn dont le det est differrent 0 a un rang de n ?

    Merci

    -----

  2. #2
    invite4ef352d8

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Salut !

    oui, une matrice inversible est de rang n.

  3. #3
    invitec053041c

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Citation Envoyé par Besta Voir le message
    Bonjours,

    Est-ce qu'on peut dire qu'une matrice nxn dont le det est differrent 0 a un rang de n ?

    Merci
    Oui car l'image d'une base est une base.

  4. #4
    GuYem

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Allez, on chipote, au lieu de "determinant différent de 0", il faut lire "determinant inversible".
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite4ef352d8

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Allez, on chipote, au lieu de "determinant différent de 0", il faut lire "determinant inversible".

    j'ai rien contre, mais on ne m'a jammais définit le rang d'une matrice à coeficient dans un anneau moi ... parceque si ca n'existe pas cette distinction n'as pas lieu d'etre ^^

    parceque vu que si on veux conserver le fait que le rang d'une matrice ce conserve quand on prend cmme corps de base un sur corps, et bien le rang d'une matrice a coeficient dans un anneau est le rang de cette matrice dans le corps des fractions de cette anneau... et elle est donc de rang si et seulement si le déterminant et non nul, et non pas inversible...

    enfin apres, on définit peut-etre autrement le rang d'une matrice a coeficient dans un anneau...

  7. #6
    martini_bird

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Salut,

    enfin apres, on définit peut-etre autrement le rang d'une matrice a coeficient dans un anneau...
    Je ne sais pas si la notion existe, mais le rang d'une application linéaire entre deux modules (c'est la notion d'ev sur un anneau) serait encore, selon moi, la dimension de l'image... pourvu qu'elle existe !

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #7
    invite4ef352d8

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    ba la dimension d'un module je connais pas moi justement...

    genre sur Z (un Z module) c'est quoi la dimension de 2Z ? de 4Z ? ^purtant 2Z et 4Z sont aussi des Z module...

  9. #8
    martini_bird

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Salut,

    ba la dimension d'un module je connais pas moi justement...
    Moi non plus... Ce qui s'en approche le plus est la notion de rang : c'est le nombre de générateurs d'une base quand le module est libre.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  10. #9
    invitec053041c

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Ca n'a peut-être aucun rapport (et je m'en excuse dans ce cas là), mais j'ai vu qu'une matrice à coeff dans Z est inversible dans Z ssi (ou si ? ) son déterminant est 1 ou -1 (ça semble naturel).Donc c'est bien plus fort que déterminant non nul.

  11. #10
    invite4ef352d8

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Salut Ledescate !


    une matrice a coeficient dans un anneau est inversible si et seulement si son déterminant est inversible, et dans Z les élements inversible sont -1 et 1.


    mais vu que la notion de rang n'est définit que sur des corps, ceci n'a effectivement aucun rapport avec la question initiale.

  12. #11
    invitebe0cd90e

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    la notion de dimension a un sens pour ce qu'on appelle les Z-modules libres. (enfin on parle plutot de rang... mais ca revient au meme)

    Donc Z, 2Z, 4Z sont de dimension 1, Zx3Z est de dimension 2, mais par exemple la notion de dimension ne s'applique pas a Z/2Z.

    et donc oui, on peut tout a fait definir une matrice a coefficients dans un anneau, on a de la meme maniere que pour un corps les groupes SLn(Z), GLn(Z) et autres...

    et de la meme maniere que pour les ev (enfin avec qq conditions quand meme, genre A integre, ou principal, j'ai un trou..), tout A-module de dimension n est isomorphe a A^n

  13. #12
    GuYem

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Content d'avoir mis un peu de pagaille de modules avec mon chipotage !
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #13
    invite4ef352d8

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    Donc si j'ai bien compris la remarque de Guyem n'etait pas inutile, mais fausse. puisque des que le déterminant est différent de 0 la matrice est inversible dans le corps des fractions donc de rang n ^^.


    en revanche je ne saisit pas pourquoi "mais par exemple la notion de dimension ne s'applique pas a Z/2Z" :
    Z/2Z est un corps, donc il n'y a aucun probleme, la notion de dimension est parfaitement définit si ?

  15. #14
    invitebe0cd90e

    Re : Relation rang et det d'une matrice

    oui, mais attention, c'est un corps, donc en particulier c'est un espace vectoriel sur lui meme. moi je parlais de sa structure de Z-module, ca n'est pas un Z module libre.

    donc Z/2Z est un Z/2Z-espace vectoriel de dimension 1, et un Z-module non libre

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