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Pf divise (Mf)^n



  1. #1
    Youseph

    Pf divise (Mf)^n


    ------

    Bonsoir tout le monde,

    Les examens approchent et en relisant le scripte, il me manque une démonstration et je n'arrive pas à la trouver.

    Soit Pf le polynôme caractéristique de f (appartenant à end V de dimension n), et Mf le polynôme minimale.

    Alors Pf divisise (Mf)^n

    Biensûr pour cette démonstration je peux pas dire que Pf et Mf ont les mêmes racines, car cette démonstration-ci (du moins celle que j'ai) en est une conséquence.

    Si quelqu'un pourrait me l'expliquer, ça doit pas être si difficile, ça serait super sympa.

    Merci d'avance,


    Damien

    -----

  2. #2
    rvz

    Re : Pf divise (Mf)^n

    Salut,

    Suffit de faire la décomposition en bloc de jordan et vérifier que c'est vrai sur chaque bloc.

    __
    rvz

  3. #3
    Ksilver

    Re : Pf divise (Mf)^n

    "car cette démonstration-ci (du moins celle que j'ai) en est une conséquence. "

    il y a beaucoup plus simplement je pense !


    Mf |Pf d'apres Caley hamilton, donc une racine de Mf est une racine de Pf.

    soit a une racine de Pf, ie det(f-aId)=0, ie f-aId est non inversible, donc il existe v non nul telle que f(v)=av, apres comme 0=Mf(f)(v)=Mf(a)*v, on a neccesairement Mf(a)=0, d'ou le résultat, Mf et Pf ont les meme racines, et donc Pf divise Mf^n...

  4. #4
    Youseph

    Re : Pf divise (Mf)^n

    Merci bcp pour vos réponses!

  5. A voir en vidéo sur Futura

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