Pf divise (Mf)^n

[invite6909706f]

Bonsoir tout le monde,

Les examens approchent et en relisant le scripte, il me manque une démonstration et je n'arrive pas à la trouver.

Soit Pf le polynôme caractéristique de f (appartenant à end V de dimension n), et Mf le polynôme minimale.

Alors Pf divisise (Mf)^n

Biensûr pour cette démonstration je peux pas dire que Pf et Mf ont les mêmes racines, car cette démonstration-ci (du moins celle que j'ai) en est une conséquence.

Si quelqu'un pourrait me l'expliquer, ça doit pas être si difficile, ça serait super sympa.

Merci d'avance,


Damien
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[invite6b1e2c2e]

Salut,

Suffit de faire la décomposition en bloc de jordan et vérifier que c'est vrai sur chaque bloc.

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rvz

[invite4ef352d8]

"car cette démonstration-ci (du moins celle que j'ai) en est une conséquence. "

il y a beaucoup plus simplement je pense !


Mf |Pf d'apres Caley hamilton, donc une racine de Mf est une racine de Pf.

soit a une racine de Pf, ie det(f-aId)=0, ie f-aId est non inversible, donc il existe v non nul telle que f(v)=av, apres comme 0=Mf(f)(v)=Mf(a)*v, on a neccesairement Mf(a)=0, d'ou le résultat, Mf et Pf ont les meme racines, et donc Pf divise Mf^n...

[invite6909706f]

Merci bcp pour vos réponses!

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