Bonjour !
Une petite question que me tarabiscote : y-a-t-il une CNS sur un polynome de degré n pour que son groupe de galois soit précisément le groupe des permutations d'un ensemble à n éléments ?
Merci pour toute aide que vous pourrez m'apporter !
Salut! J'ai retrouvé ceci dans un cours: pour un polynome séparable de degré n, la CNS que tu cherches est que le degré de l'extension de scindement de P sur le corps de base soit égale à n!
Salut et merci, en fait ce que tu dis est la conséqence du fait que le groupe de galois d'un polynôme est un sous-groupe du groupe des permutations, donc c'est presque "évident" ! Je cherchais une CNS plus en rapport directement avec le polynôme en fait.
Aurais-tu un exemple de polynôme irréductible ne vérifiant pas cette condition ?
Il y en a surement plein, mais je n'arrive pas à en trouver...
Merci !
En fait, le polynôme X4+1 est irréductible sur Q et son groupe de galois est le "Viergruppe", sauf erreur.
Oui, tu as raison, effectivement, ma CNS n'apporte pas grand chose!
En revanche, j'ai trouvé un autre truc, pour les polynomes de degré 3, en caractéristique différente de 2: un polynome irréductible séparable P admet S3 comme groupe de Galois si et seulement si le discriminant de P n'est pas un carré dans le corps de base.
Vu cette CNS-là, le cas d'un degré quelconque n'est peut-etre pas évident!...
Oui, dans le cas du degré 3, c'est facile, le degré 4 ça devient tendu ! Et après... ?
Quelqu'un aurait-il une idée ? Je ne trouve rien nulle part... !
