[TS] a^n divise b^n+c

[invite0edb71fb]

Salut voici mon problème pour a,b,c entier et a>1 b>0, montrer que pour tout n>0, si divise alors a divise b et c=0.

Voici ce que j'ais trouver si divise alors la limite de quand n tend vers + l'infini est un entier positif.

Or cela revien a dire que la limite de est un entier ce qui n'a pas de sens puisque est une suite géométrique de raison >1 (c'est évident que b>a), et par conséquence sa limite est plus l'infini. Donc aucune "nature distincte".

Ais-je bon ????

merci
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[invite7af75ce8]

Hum..Je suis pas tellement d'accord avec cette méthode...

Plus simplement, essaye de réduire aux cas n=2 et n=3...
Tu verras que cela est impossible.

Pour ce qui est de l'évidence...

C'est pas tellement évident, car on sait juste que a est strictement supérieur à 2, et que b est strictement positif...

Et pour le pas de sens..Cela en en a si a | b... Donc cette méthode n'est pas générale, et n'est donc pas applicable. N'y as t'il pas d'indications ?

[Gloubiscrapule]

Voici ce que j'ais trouver si divise alors la limite de quand n tend vers + l'infini est un entier positif.

Pourquoi tu fais tendre n vers l'infini?

[invite0edb71fb]

Hum..Je suis pas tellement d'accord avec cette méthode...

Plus simplement, essaye de réduire aux cas n=2 et n=3...
Tu verras que cela est impossible.

Pour ce qui est de l'évidence...

C'est pas tellement évident, car on sait juste que a est strictement supérieur à 2, et que b est strictement positif...

Et pour le pas de sens..Cela en en a si a | b... Donc cette méthode n'est pas générale, et n'est donc pas applicable. N'y as t'il pas d'indications ?

En réduisant au cas n=2 et n=3 ca n'aboutit a rien de vraiment exploitable.
Si c'est évident, si b<a alors pour a^n >c il existe forcément n tel que a^n>b^n+c donc a^n ne divise pas b^n+c, j'ais fais la démo.

Pourquoi tu fais tendre n vers l'infini?

Pourquoi pas si ca peut me faire résoudre le problème ? (c'est pour tout n)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0edb71fb]

Personne ne peut me dire si ce que j'ais fait est bon ?

[invite7af75ce8]

Je ne sais pas si cela se fait, mais ma curiosité est grande sur ce topic, et je ne voudrais pas qu'il reste sans réponse : Up ?

[Gloubiscrapule]

Pourquoi pas si ca peut me faire résoudre le problème ? (c'est pour tout n)

Le cas n tend vers l'infini, c'est un cas limite, qu'on ne peux pas prendre concrètement (même pas 9866544444 ou 10^9877 n'est l'infini), donc on pourrait carrément dire que prendre ce qui n'est pas infini, ça serait en fait prendre TOUS les n.
Donc étudier le cas n tend vers l'infini c'est à l'opposé d'étudier le cas pour tout n!!


Voici ce que je propose:

Admettons que (bⁿ + c)/aⁿ = p (p entier) jusqu'au rang n.

Alors (bⁿ⁺¹+ c)/(aⁿ⁺¹) = bⁿ⁺¹/aⁿ⁺¹ + c/aⁿa = (b/a)bⁿ/aⁿ + (1/a)(p - bⁿ/aⁿ)
= bⁿ/aⁿ(b/a - 1/a) + p/a = (1/a)(bⁿ/aⁿ(b-1) + p) = q ( q entier)
=> bⁿ/aⁿ(b-1) + p = qa , qa est entier car a et q entier
=> bⁿ/aⁿ(b-1) est entier car p est aussi entier
=> b-1 étant entier car b est entier alors bⁿ/aⁿ doit etre entier, et donc b/a est entier (a divise b)

Voilà pour la première partie, maintenant que b/a est entier ça veut dire que c/aⁿ doit être entier quelque soit n, ce qui est possible que pour c = 0 car a>1.

Bon voilà je sais pas ce que ça vaut mathématiquement...

[kNz]

A mon avis tu vas avoir du mal à démontrer ça.
Pour n = 1 ça nous donne :

a divise b+c implique a divise b et c = 0.

M'étonnerait que ce soit vrai.

[invite0edb71fb]

Je ne sais pas si cela se fait, mais ma curiosité est grande sur ce topic, et je ne voudrais pas qu'il reste sans réponse : Up ?

^^ (j'hésitais a re-up t'as bien fait )

Le cas n tend vers l'infini, c'est un cas limite, qu'on ne peux pas prendre concrètement (même pas 9866544444 ou 10^9877 n'est l'infini), donc on pourrait carrément dire que prendre ce qui n'est pas infini, ça serait en fait prendre TOUS les n.
Donc étudier le cas n tend vers l'infini c'est à l'opposé d'étudier le cas pour tout n!!

Oui mais ce n'est pas ce que je veus faire, ce que je voulais faire c'est montrer simplement que l'on a une limite impossible, par exemple si on a quand n tend vers l'infini si et qu'on trouve que sa limite n'est pas entiére on peut considére que c'est faux, ma méthode c'est pareil...

Admettons que (bn + c)/an = p (p entier) jusqu'au rang n.

Alors (bn+1+ c)/(an+1) = bn+1/an+1 + c/ana = (b/a)bn/an + (1/a)(p - bn/an)
= bn/an(b/a - 1/a) + p/a = (1/a)(bn/an(b-1) + p) = q ( q entier)
=> bn/an(b-1) + p = qa , qa est entier car a et q entier
=> bn/an(b-1) est entier car p est aussi entier
=> b-1 étant entier car b est entier alors bn/an doit etre entier, et donc b/a est entier (a divise b)

Ta conclusion est un peu fausse je pense:
ce n'est pas parceque (b-1) est entier que b^n/a^n l'est!

A mon avis tu vas avoir du mal à démontrer ça.
Pour n = 1 ça nous donne :

a divise b+c implique a divise b et c = 0.

M'étonnerait que ce soit vrai.

C'est pour tout n et non uniquement pour un seul ou 2.

Merci a tous

[kNz]

Si c'était vrai pour tout n, alors ce serait vrai pour n=1.
Tu peux aussi le voir comme : si c'est faux pour n=1, alors ce n'est pas vrai pour tout n.

[invite0edb71fb]

Je comprend pas, pourquoi ce ne serait pas vrai pour n=1 ?
a divise (b+c) où est le problème ??
ce que je veus montrer c'est que si a^n divise b^n+c alors c=0 et b=a. Pour n=1 il y a une infinité de possibilité telle que a divise b +c sans que c =0 ou b=a.