intégrale
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intégrale



  1. #1
    invite0fc32833

    intégrale


    ------

    Bonjour,

    Je suis devant une formule habituellement utilisée en sciences économiques :

    W= intégrale entre a et b d'une fonction f

    où par exemple f(x) = A*exp(-ax)

    Si x peut prendre n'importe qu'elle valeur sur R+, pas de pb particulier.

    Par contre, si par la suite x ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1, W a-t-elle encore un sens et si oui, comment la calculer ?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    invitec053041c

    Re : intégrale

    Bonjour.
    Cela dépend. Mais si par exemple ta fonction vaut 1 pour tous les entiers, et n'est pas définie ailleurs. Son intégrale entre 2 réels quelconques vaudra 0. Quoique si elle n'a pas de sens entre chaque entier, je doute qu'on puisse parler d'intégrale. Mais ces cas là ne sont pas vraiment intéressants.

    Toujours est-il que pour obtenir une intégrale non triviale, il faut que ta fonction soit définie sur un domaine ayant un "minimum d'épaisseur", c'est-à-dire un intervalle de réels contenant strictement plus d'un seul point.

    Attendons l'avis des experts .

  3. #3
    ericcc

    Re : intégrale

    En fait l'intégrale est quelque chose comme une somme pour des fonctions continues.
    Par exemple si tu cherches la moyenne d'une fonction f qui prend une série de valeurs a1,a2...an
    tu vas calculer


    Mais si ta fonction est continue sur un intervalle [a,b], tu vas calculer


    Dans ton cas je soupçonne donc que si ta fonction f est discrète au lieu d'être continue, tu va simplement remplacer l'intégrale par une somme.

  4. #4
    invite0fc32833

    Re : intégrale

    Bonjour,

    Merci pour vos réponses ; le pb c'est que x ne peut prendre que 2 valeurs (0 ou 1) ; d'où un pb "d'épaisseur" du domaine de définition.

    En fait, cette question ayant pour origine un exemple économique, la lecture "se fait à l'envers" (merci les anglo-saxons).

    En ordonnée, on a la variable p (= prix) définie sur R+ et en abscisse la variable x (quantité achetée), avec x=g(P). Habituellement, on a à faire à une fonction de demande continue et décroissante,avec x défini aussi sur R+. L'aire sous cette courbe (entre deux niveaux de consommation x = a et x = b), représente ce que l'on appelle le surplus du consommateur W (= "mesure du bien-être associé à cette consommation").

    Dans le cas, que je viens de vous soumettre, la quantité x consommée devient binaire : 0 ou 1 (ex. aller à EuroDisney ou ne pas y aller), cette quantité dépendant bien évidemment du prix P proposé. On peut alors repérer deux prix seuils p1 et p2, avec p1 < p2 :

    - si p < p1 => x = 1 (je vais sans hésiter à Eurodisney)
    - si p > p2 => x = 0 (je ne vais pas, sans hésiter, à Eurodisney)
    - si p1 < ou = p < ou = p2 => incertitude (j'hésite) : x = 1 avec une proba prob et x= 0 avec une proba (1-prob).


    (Dans le cas où p1 = p2, pas d'incertitude)

    Mais face à cette "courbe de demande" un peu spéciale (je ne sais pas si j'ai été suffisament clair concernant sa description), le calcul du surplus W, me pose problème du point de vue mathématique (comment calculer une aire sous une telle "courbe", alors qu'intuitivement, W devrait exister (certaines personnes retirent un bien-être à aller à EuroDisney, puisqu'elles y vont !!)

    Bon voilà, les tribulations d'un économiste au pays des mathématiques.

    Merci à vous.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite9542de6a

    Re : intégrale

    bonjour !
    Je vois que je ne suis pas la seule économiste à se lancer dans les mathématiques =)
    En effet je suis bachelière 2007 d'un bac ES, et en septembre je vais suivre la formation de livence maths, parcours mathématiques pour le professorat des écoles. Je suis consciente que je vais rencontrer des difficultés, mais est il possible néanmoins que je réussisse?
    Je suis actuellement en train de voir le programme de mathématiques de terminal S, mais j'avoue qu'avec des livres seuls c'est du charabia ( bien qu'ayant obtenu 17 au bac maths ).
    A la rentrée aurai je le temps de me mettre correctement à niveau ?
    merci

  7. #6
    invitec053041c

    Re : intégrale

    Bonjour.
    Citation Envoyé par dj0dj059 Voir le message
    A la rentrée aurai je le temps de me mettre correctement à niveau ?
    merci
    Bien-sûr .

  8. #7
    invite9542de6a

    Re : intégrale

    merci ! j'espère que tu as raison !
    J'ai un professeur de maths qui va m'envoyer des cours sur les équations différentielles et les nombres complexes, car je pense que ce sont les deux plus gros chapitres que je n'ai pas étudier en ES.
    J'espère aussi qu'à l'université il y aura des profs qui pourront m'aider, bien qu'on dit toujours qu'il faut être autonome !

    :s

  9. #8
    Nox

    Re : intégrale

    Bonjour,

    De toute façon s'il y a quelque chose que tu ne comprends, n'hésite pas ! nous sommes là pour t'aider !

    Cordialement,

    Nox
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  10. #9
    invitec053041c

    Re : intégrale

    Citation Envoyé par Nox Voir le message

    De toute façon s'il y a quelque chose que tu ne comprends, n'hésite pas ! nous sommes là pour t'aider !


    Oui c'est bien vrai !

  11. #10
    invitef618c422

    Re : intégrale

    Bonjour,
    sans vouloir jouer les empecheurs de tourner en rond il faudrait moderer un peu le propos de Ledescat:
    l'intégrale de Lebesgue s'accomode très bien d'ensembles de départs beaucoup plus compliqués que des intervalles (information générale la discussion portant ici sur la construction de Riemann,toujours en passant je suis d'ailleurs de plus en plus perplexe vis-a-vis de "l'obligation" a commencer par construire celle de Riemann justement),
    cordialement

  12. #11
    invitec053041c

    Re : intégrale

    Oui mais c'est clair que je parlais de fonctions assez "sympas".
    Après on peut toujours en revenir aux fonctions affreuses comme la fonction caractéristique des rationnels etc...
    Mais je ne crois quand même pas que c'était l'objet du propos.
    Sinon pourquoi être réticent à la construction de Riemann ?

  13. #12
    invitef618c422

    Re : intégrale

    Je ne suis pas réticent a l'intégrale de Riemann en tant que telle mais plutot au fait qu'on considère obligatoire de l'enseigner alors il y a pleins de raisons a cela et je les concois (première approche,relation simple aux primitives donc du calcul, la tradition d'enseigner les maths relativement "dans l'ordre",une intégrale qui pour de nombreux utilisateurs elle est suffisante et ca c'est une bonne raison pour eux la question ne se pose pas,etc) mais pour celui qui va beaucoup utiliser l'intégration pendant ces études je suis pas sur de son utilitée : 1)pour les matheux je me contente de remarquer qu'on ne comprend bien (et qu'on ne sait caractériser) l'intégrale de Riemann qu'une fois qu'on a vu celle de Lebesgue
    2)pour les physiciens il faut se rappeler que la victoire majeure de l'intégrale de Lebesgue c'est son théorème qui permet l'échange intégrale dérivée (sur lequel repose a un niveau élémentaire l'electromagnétisme ou la meca analytique) le reste n'étant que "bonus" (espaces complets etc),
    cordialement

  14. #13
    invitec053041c

    Re : intégrale

    D'accord, merci pour toutes ces précisions.
    Je voulais m'intéresser un peu plus à la construction de Lebesgue, mais un petit tour sur wikipedia me montre que c'est plutôt ardu.

    Citation Envoyé par wikipedia
    La théorie de l'intégrale de Lebesgue reste tout de même relativement complexe (inabordable avant la 3e année de licence en France), mais, peut-être parce que Lebesgue était Français, elle est très populaire en France et quasiment tout étudiant de mathématiques finit par la rencontrer.
    .

  15. #14
    invite9542de6a

    Smile Re : intégrale

    Citation Envoyé par Nox Voir le message
    Bonjour,

    De toute façon s'il y a quelque chose que tu ne comprends, n'hésite pas ! nous sommes là pour t'aider !

    Cordialement,

    Nox
    "Si la matière grise était + rose, le monde aurait - les idées noires." P. Dac



    Pas mal dit

  16. #15
    invitec5eb4b89

    Re : intégrale

    Citation Envoyé par ours29 Voir le message
    Bonjour,

    Merci pour vos réponses ; le pb c'est que x ne peut prendre que 2 valeurs (0 ou 1) ; d'où un pb "d'épaisseur" du domaine de définition.

    En fait, cette question ayant pour origine un exemple économique, la lecture "se fait à l'envers" (merci les anglo-saxons).

    En ordonnée, on a la variable p (= prix) définie sur R+ et en abscisse la variable x (quantité achetée), avec x=g(P). Habituellement, on a à faire à une fonction de demande continue et décroissante,avec x défini aussi sur R+. L'aire sous cette courbe (entre deux niveaux de consommation x = a et x = b), représente ce que l'on appelle le surplus du consommateur W (= "mesure du bien-être associé à cette consommation").

    Dans le cas, que je viens de vous soumettre, la quantité x consommée devient binaire : 0 ou 1 (ex. aller à EuroDisney ou ne pas y aller), cette quantité dépendant bien évidemment du prix P proposé. On peut alors repérer deux prix seuils p1 et p2, avec p1 < p2 :

    - si p < p1 => x = 1 (je vais sans hésiter à Eurodisney)
    - si p > p2 => x = 0 (je ne vais pas, sans hésiter, à Eurodisney)
    - si p1 < ou = p < ou = p2 => incertitude (j'hésite) : x = 1 avec une proba prob et x= 0 avec une proba (1-prob).


    (Dans le cas où p1 = p2, pas d'incertitude)

    Mais face à cette "courbe de demande" un peu spéciale (je ne sais pas si j'ai été suffisament clair concernant sa description), le calcul du surplus W, me pose problème du point de vue mathématique (comment calculer une aire sous une telle "courbe", alors qu'intuitivement, W devrait exister (certaines personnes retirent un bien-être à aller à EuroDisney, puisqu'elles y vont !!)

    Bon voilà, les tribulations d'un économiste au pays des mathématiques.

    Merci à vous.
    Bonjour !
    Ta fonction de demande n'est certes pas continue, mais elle est continue par morceaux, décroissante et, si je ne m'abuse, intégrable sur tout entier (je ne vois pas vraiment ce que viennent faire ici les considérations sur les ensembles de définition). Du coup tu peux parfaitement l'intégrer entre deux prix (a et b).
    Par exemple si on suppose , alors .

    Par contre je ne suis pas très d'accord avec le fait de dire que si le est inférieur à , alors je vais forcément à Eurodysney. Je dirais plutôt que la probabilité que j'aille à Eurodysney est plus forte si le prix est en-dessous de que s'il est compris entre et , j'aurais ainsi plus de chance d'avoir défini une densité de probabilité. Corrigez moi si je dis des bêtises !

    Bon courage,
    V.

  17. #16
    invitec5eb4b89

    Re : intégrale

    OK, je me corrige moi-même, puisque j'ai dit que des bêtises. La fonction que tu définis (celle en fonction du prix) est constante par morceaux, alors sa fonction réciproque aura du mal à être intégrable, quand même (puisqu'elle n'existe pas sur R+). Peut-être qu'en remplaçant les paliers par d'autres fonctions plus sympathiques, on arriverait à quelque chose (genre des polynômes, ou plutôt des fractions rationnelles, puique la fonction tend vers 0, ou des fonctions splines).
    Je maintiens ma remarque du deuxième paragraphe !
    Bon courage,
    V.

  18. #17
    invitebf65f07b

    Re : intégrale

    Citation Envoyé par ours29 Voir le message
    - si p < p1 => x = 1 (je vais sans hésiter à Eurodisney)
    - si p > p2 => x = 0 (je ne vais pas, sans hésiter, à Eurodisney)
    - si p1 < ou = p < ou = p2 => incertitude (j'hésite) : x = 1 avec une proba prob et x= 0 avec une proba (1-prob).
    salut,
    ton problème réside dans le troisième point où tu fais apparaitre cette notion d'incertitude : ceci fait que ta fonction n'est plus vraiment très classique vu que entre p1 et p2 elle n'a pas vraiment de valeur bien définie...

    si je te comprends bien, cette incertitude entre 0 et 1 sert à conserver le sens de ta grandeur x (à savoir aller ou non voir mickey en vrai). cette intention est louable mais pose manifestement des problèmes (au moins un disons).

    une solution serait d'accepter que x prenne des valeurs intermédiaires, autres que 0 ou 1. par exemple pour x=0.7, l'individu aurait plutôt tendance à partir dépenser son argent en futilité, mais pas forcément.
    on conserve ainsi cette notion d'incertitude mais on l'enrichit en donnant directement à x un sens proche de la probabilité (attention!! j'ai pas dis que s'en était une!)

    si ça t'intéresse, c'est un peu la démarche qui est prise en "logique floue" où les variables logiques (0 ou 1) deviennent continues entre 0 et 1.

    quoi qu'il en soit, si on décide par exemple de compléter ta fonction par une droite entre p1 et p2, on trouve que l'intégrale qui t'intéresse vaut :
    W=p_1 +(p_2-p_1)/2.
    si on veut interpréter un peu ceci, on voit que la 1ère partie [p_1] est due aux prix p<p1 tandis que la seconde [(p_2-p_1)/2] provient justement de la fange "d'incertitude" p2<p<p2.
    Le coefficient 1/2 provient du choix de prendre un droite pour p2<p<p2. Si on impose que x(p) soit continue décroissante, on peut voir que ce coefficient ne peut prendre ces valeur que entre 0 et 1. A toi de lui donner le sens qui te convient maintenant...

    bon, j'espère t'avoir un peu aider.

  19. #18
    invite0fc32833

    Re : intégrale

    Bonjour,

    Revenant de vacances, je viens de lire les dernières réponses à ma question du 20 juillet dernier. Merci à vous, je vais y réfléchir.

    Rem : introduire de la "logique floue" en sciences économiques me paraît séduisant (peut-être que c'est déjà fait en finance, mais je n'en suis pas sûr).

    A bientôt.

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