Vecteurs tangents à une surface

[invite3e5ede0a]

Bonjour,


J'ai une surface paramétrée z=S(x,y) dont je connais le vecteur normal en tout point (le gradient de S). Comment puis-je déterminer deux vecteurs (perpendiculaires) appartenant au plan tangent à la normale ? (le tout formant un trièdre)

Merci d'avance
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[invite88ef51f0]

Salut,
Écris donc que le produit scalaire du vecteur cherché par le vecteur normal est nul. Ça te donnera une équation vérifiée par tes vecteurs. Ensuite, tu peux essayer en mettant un peu d'arbitraire (faut bien prendre deux vecteurs parmi l'infinité du plan tangent) : mettre une composante à 1 ou 0, ...

[Médiat]

J'ai une surface paramétrée z=S(x,y) dont je connais le vecteur normal en tout point (le gradient de S). Comment puis-je déterminer deux vecteurs (perpendiculaires) appartenant au plan tangent à la normale ? (le tout formant un trièdre)

L'ensemble des vecteurs dont le produit scalaire avec le vecteur normal (non nul) est nul, sont dans le plan tangent, il suffit d'en choisir un non nul, puis de faire le produit vectoriel du vecteur normal et du premier vecteur tangent trouvé.

[invite3e5ede0a]

à il me semblait bien que c'était quelque chose comme ça.

Donc si est ma normale, un vecteur quelconque non nul, alors appartient au plan tangent, n'est ce pas?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Oui, c'est ça.

[invite3e5ede0a]

ok, merci beaucoup !

[invite4ef352d8]

Je suis tres géne par ceci :


"J'ai une surface paramétrée z=S(x,y) dont je connais le vecteur normal en tout point (le gradient de S)."

le gradient de S est un vecteur du plan, c'est le vecteur dS/dX,dS/dy ca ne risque donc pas d'etre le vecteur normale a ta surface (qui est un vecteur de l'espace....)



pour faire simple, il y a deux facon de définir une surface :

1)une equation implicité : la surface est l'ensemble des point telle que f(x,y,z)=0

avec cette représentation, on obtien facilement le vecteur normale : si (x,y,z) est un point de la surface, le vecteur normale en ce point est le gradient de f en (x,y,z).

2) un paramétrage : ie une application f de R² dans R^3, dans ce cas la surface est f(R²)

par exemple f : (h,t)-> [cos(t),sin(t),h] définit un cylindre.

dans ce cas on obtiens facilement deux vecteurs tangent : df/dx et df/dy sont tangeant a la courbe.


dans ton cas tu peut obtenir les deux :

z=S(x,y) peut etre vu comme une equation implicite :

S(x,y)-z =0 et donc tu obtiens le vecteur normale en prenant le gradient de (x,y,z)->S(x,y)-z en un point (x,y,z) de la surface.

ou comme un paramtrage, par l'application f : (x,y)->(x,y,S(x,y))

et donc tu peut Obtenir des vecteur tangeant en calculant df/dx et df/dy...

[invite4ef352d8]

au final :


le vecteur normale est donc le vecteur de coordoné :
(dS/dx,dS/dy,-1)

les vecteurs tangeant sont (1,0,dS/dx) et (0,1,dS/dy)

[invite06a166f3]

Je débute alors soyez pas trop durs !

Donc si n est ma normale, Eo un vecteur quelconque non nul, alors n.Eo appartient au plan tangent, n'est ce pas?

Je pensais justement que pour que n.Eo soit dans le plan tangent, il fallait que n x Eo = 0, donc ça implique que Eo ne soit pas quelconque ?

[invite57a1e779]

Je pensais justement que pour que n.Eo soit dans le plan tangent, il fallait que n x Eo = 0, donc ça implique que Eo ne soit pas quelconque ?

Je ne comprends pas bien ce que tu notes n.Eo et n x Eo, mais le principe est le suivant.

Le vecteur est normal à la surface, et le vecteur noté ou , produit vectoriel de et de , est orhogonal à , donc tangent à la surface, et non nul si n'est pas colinéaire à .

[invite06a166f3]

D'accord j'ai compris maintenant. Même si je ne comprends pas vraiment comment intégrer une connexion affine pour obtenir un vecteur tangent.