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Polynôme de module 1



  1. #1
    Quinto

    Polynôme de module 1


    ------

    Allo,
    je suis bloqué sur un problème très classique mais que je n'arrive plus à faire malheureusement.
    J'aimerais montrer que les polynôme de module 1 sur le cercle unité sont nécessairement les polynômes de la forme
    cz^n pour c un complexe de module 1.

    Je suis à peu près sur que le lemme de Schwarz entre en jeu, mais je ne vois pas comment.

    Si vous avez une idée, ce serait gentil.
    Merci d'avance.
    a+

    -----

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  3. #2
    indian58

    Re : Polynôme de module 1

    Ca serait pas plutôt une histoire de principe du maximum?

  4. #3
    Quinto

    Re : Polynôme de module 1

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Ca serait pas plutôt une histoire de principe du maximum?
    Oui ca a de l'allure,
    que proposes-tu ?

    Le but de cette question est que je veux déterminer toutes les fractions rationelles qui sont de module 1 sur T. Ce sont les produits de Blaschke finis.
    Il suffit pour montrer cela de montrer que les seuls polynômes vérifiant la même condition sont ceux que je mentionne.

    Je suis persuadé avoir déjà vu la résolution de cet exercice et dans ma tête, ce n'était pas sorcier, mais impossible de retrouver le truc, dans la litterature ou avec un crayon ...

  5. #4
    indian58

    Re : Polynôme de module 1

    Déjà tu peux dire que ton polynôme est borné par 1 sur le disque unité. Alors peut-être qu'en considérant P(1/Z)??

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Taar

    Re : Polynôme de module 1

    Salut.

    J'y arrive en partant de ça :

    (1)
    Je suppose que a des racines non nulles ( est la multiplicité de , celle de ) :



    Je compare ensuite les résidus en des deux membres de (1). On arrive à :



    ce qui donne une contradiction.

    C'est assez bourrin.

    Taar.

  8. #6
    Quinto

    Re : Polynôme de module 1

    Salut,
    je ne vois pas où tu te sers de l'hypothèse sur le module de P dans ta preuve.

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  10. #7
    Taar

    Re : Polynôme de module 1

    Salut.

    Pour tout z de module 1, .
    Cette égalité entre fractions rationnelles est vraie pour une infinité de complexes z, donc vraie tout court.
    On doit pouvoir en tirer quelque chose, en l'état.

    J'ai dérivé :



    et ça marchait, donc je n'ai pas cherché plus loin.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 14/09/2007 à 19h56.

  11. #8
    indian58

    Re : Polynôme de module 1

    C'est un exo digne de taupe. Il y a donc plus élémentaire.

  12. #9
    Quinto

    Re : Polynôme de module 1

    Salut,
    ok effectivement, je n'avais pas vu ca.
    Merci pour ta réponse.

  13. #10
    Ledescat

    Re : Polynôme de module 1

    Une question idiote: qu'entendez-vous par polynôme de module 1 ?
    Cogito ergo sum.

  14. #11
    indian58

    Re : Polynôme de module 1

    Un polynôme est de module 1 (dans cet exo, sur le disque unité) si pour tout |z|=1, |P(z)|=1.

  15. #12
    Ledescat

    Re : Polynôme de module 1

    Citation Envoyé par indian58 Voir le message
    Un polynôme est de module 1 (dans cet exo, sur le disque unité) si pour tout |z|=1, |P(z)|=1.
    Merci indian58 .
    Cogito ergo sum.

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  17. #13
    indian58

    Re : Polynôme de module 1

    y a pas de quoi! Peut-être as-tu une solution (élémentaire) à proposer?

  18. #14
    Taar

    Re : Polynôme de module 1

    Salut. Allons-y pour plus élémentaire, alors.

    Je pars de .

    On écrit , où et , et où l'on suppose que .

    est un polynôme, à savoir .

    On sait que .

    On obtient en identifiant les coefficients de degré r :



    Contradiction.

    Taar.
    Dernière modification par Taar ; 15/09/2007 à 23h01.

  19. #15
    indian58

    Re : Polynôme de module 1



    Celle qu'on avait vu en taupen était un peu plus compliquée!

  20. #16
    Ksilver

    Re : Polynôme de module 1

    en tous cas c'est bien un exo de taupe : j'ai eu ca a l'oral de l'X en juin dernier ^^

  21. #17
    Quinto

    Re : Polynôme de module 1

    Je viens de tomber sur un exercice plus général pour lequel j'ai trouvé une solution assez expéditive, sauf si je me suis planté:

    a- Montrer que si est un domaine et que est un disque ouvert relativement compact dans , alors sur la frontière de D implique que f a au moins un zéro dans D si f est holomorphe sur .

    b- Trouver toutes les fonctions entières telles que |f|=1 sur |z|=1.

    La première question est une application directe du principe du maximum à 1/f.

    Pour la seconde question j'ai considéré le produit de Blaschke fini B construit à partir des zéros de f dans le disque unité ouvert. Ce produit est bien fini d'après le principe d'identité (sinon on aurait un point d'accumulation pour l'ensemble des zéros et donc f serait identiquement nulle ce qui est impossible).
    Ainsi f/B est aussi une fonction de module constant sur |z|=1 et est holomorphe dans le disque unité. Par construction f/B n'a aucun zéro dans le disque unité et est donc constante par le résultat précédent.
    Ainsi, f=B.

    Puisque l'on voulait que f soit entière, il ne faut pas que f=B ai de pôle, et donc les zéros de f sont tout simplement en 0.
    Donc f(z)=cz^k pour un certain k positif ou nul et une constante c unimodulaire.

    Le cas f polynôme est un cas particulier de ce résultat.
    Sauf erreur(s).
    Je trouve la démo sympathique (sous reserve d'exactitude )
    a+ et merci de vos contributions respectives

  22. #18
    Quinto

    Re : Polynôme de module 1

    En fait on n'a pas nécessairement f=B mais plutôt f=c'B où c' est une constante unimodulaire, mais comme une constante unimodulaire que multiplie un produit de Blaschke est une fonction du même type, ça ne change rien à la suite.

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