Allo,
je suis bloqué sur un problème très classique mais que je n'arrive plus à faire malheureusement.
J'aimerais montrer que les polynôme de module 1 sur le cercle unité sont nécessairement les polynômes de la forme
cz^n pour c un complexe de module 1.
Je suis à peu près sur que le lemme de Schwarz entre en jeu, mais je ne vois pas comment.
Si vous avez une idée, ce serait gentil.
Merci d'avance.
a+
Ca serait pas plutôt une histoire de principe du maximum?
Oui ca a de l'allure,Envoyé par indian58
que proposes-tu ?
Le but de cette question est que je veux déterminer toutes les fractions rationelles qui sont de module 1 sur T. Ce sont les produits de Blaschke finis.
Il suffit pour montrer cela de montrer que les seuls polynômes vérifiant la même condition sont ceux que je mentionne.
Je suis persuadé avoir déjà vu la résolution de cet exercice et dans ma tête, ce n'était pas sorcier, mais impossible de retrouver le truc, dans la litterature ou avec un crayon ...
Déjà tu peux dire que ton polynôme est borné par 1 sur le disque unité. Alors peut-être qu'en considérant P(1/Z)??
Salut.
J'y arrive en partant de ça :
(1)
Je suppose que
Je compare ensuite les résidus en
ce qui donne une contradiction.
C'est assez bourrin.
Taar.
Salut,
je ne vois pas où tu te sers de l'hypothèse sur le module de P dans ta preuve.
Salut.
Pour tout z de module 1,
Cette égalité entre fractions rationnelles est vraie pour une infinité de complexes z, donc vraie tout court.
On doit pouvoir en tirer quelque chose, en l'état.
J'ai dérivé :
et ça marchait, donc je n'ai pas cherché plus loin.
Taar.
C'est un exo digne de taupe. Il y a donc plus élémentaire.
Salut,
ok effectivement, je n'avais pas vu ca.
Merci pour ta réponse.
Une question idiote: qu'entendez-vous par polynôme de module 1 ?
Un polynôme est de module 1 (dans cet exo, sur le disque unité) si pour tout |z|=1, |P(z)|=1.
Merci indian58.
y a pas de quoi! Peut-être as-tu une solution (élémentaire) à proposer?
Salut. Allons-y pour plus élémentaire, alors.
Je pars de
On écrit
On sait que
On obtient en identifiant les coefficients de degré r :
Contradiction.
Taar.
Celle qu'on avait vu en taupen était un peu plus compliquée!
en tous cas c'est bien un exo de taupe : j'ai eu ca a l'oral de l'X en juin dernier ^^
Je viens de tomber sur un exercice plus général pour lequel j'ai trouvé une solution assez expéditive, sauf si je me suis planté:
a- Montrer que si
b- Trouver toutes les fonctions entières telles que |f|=1 sur |z|=1.
La première question est une application directe du principe du maximum à 1/f.
Pour la seconde question j'ai considéré le produit de Blaschke fini B construit à partir des zéros de f dans le disque unité ouvert. Ce produit est bien fini d'après le principe d'identité (sinon on aurait un point d'accumulation pour l'ensemble des zéros et donc f serait identiquement nulle ce qui est impossible).
Ainsi f/B est aussi une fonction de module constant sur |z|=1 et est holomorphe dans le disque unité. Par construction f/B n'a aucun zéro dans le disque unité et est donc constante par le résultat précédent.
Ainsi, f=B.
Puisque l'on voulait que f soit entière, il ne faut pas que f=B ai de pôle, et donc les zéros de f sont tout simplement en 0.
Donc f(z)=cz^k pour un certain k positif ou nul et une constante c unimodulaire.
Le cas f polynôme est un cas particulier de ce résultat.
Sauf erreur(s).
Je trouve la démo sympathique (sous reserve d'exactitude
a+ et merci de vos contributions respectives
En fait on n'a pas nécessairement f=B mais plutôt f=c'B où c' est une constante unimodulaire, mais comme une constante unimodulaire que multiplie un produit de Blaschke est une fonction du même type, ça ne change rien à la suite.
