problème de maths

[invited416becf]

Bonjour à toutes et tous!
je dois étudier les variations de g[k](x) = 1+x^2-(2x^2)(ln(x)+[k])
et prouver que g[k](x) admet une et une seule solution solution sur R+*.
Mais le problème, c'est que je en sais pas trop comment faire... car g dépend de x (ça, ça va !!) mais aussi de k (ouille !!)...
Si quelqu'un pouvait m'aider , ce serait vraiment très sympa!!
Merci d'avance

Bon aprèm
Liloo
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[invited416becf]

help!!!

[invitea774bcd7]

Bonjour à toutes et tous!
g[k](x) admet une et une seule solution solution sur R+*.

Je suppose que tu veux dire une racine
Alors, je ferais comme ça mais c'est un peu du bricolage (étude complet de la fonction…)

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Tout d'abord, ta fonction vaut 1 en zéro et tend vers -Inf en +Inf. Donc y a forcément au moins une racine.
Regardons la dérivée : -4x(k+Log[x]) qui s'annule en 0 et Exp[-k].
Le truc, c'est de regarder g[k](Exp[-k]) i.e. l'ordonnée du point où le dérivée de ta fonction s'annule (autrement qu'à l'origine…)
Et on a g[k](Exp[-k])=1+Exp[-2k]-2Exp[-2k](k+Log[Exp[-k]])=1+Exp[-2k] et ça, c'est strictement supérieur à 1.

Récapitulons :

– Ta fonction vaut 1 en 0 avec une dérivée nulle.
– La dérivée de ta fonction s'annule en Exp[-k] et sa valeur à ce point est supérieur à 1.
=> Ta fonction croît donc de zéro à Exp[-k] puis décroît vers -Inf (il n'y a plus d'autre points où la dérivée s'annule entre Exp[-k] et +Inf)
=> Il n'y a qu'une racine.

En espérant ne pas m'être planté quelque part…

[invited416becf]

merci beaucoup !!
j'étudie tout ça et si j'ai un problème, je reviens !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited416becf]

le truc, c'est que la solution de g[k](x) = 0, c'est pas exp(-k) ??et je ne vois pas comment on peut trouver sans avoir la valeur de k..
et j'ai besoin de cette solution pour continuer l'exo...
merci d'avance!!

[invitea774bcd7]

le truc, c'est que la solution de g[k](x) = 0, c'est pas exp(-k) ??

J'ai pas dit ça…
J'ai démontré qu'il existait une racine. Je ne savais pas que tu voulais sa valeur (qui va dépendre de k, voilà tout)…

[invitea774bcd7]

La racine ne semble pas analytique. Ça m'étonne qu'on te la demande…