gradient

[invite40f82214]

bonjour tous le monde

j'ai un soucis avec le gradient je n'arrive pas a comprendre c'est quoi pouvez vous m'expliquer s'il vous plait parsque sur le net je trouve que des explications pour des personnes qui connaissent deja!!

merci
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[invite76db3c86]

bonjour tous le monde

j'ai un soucis avec le gradient je n'arrive pas a comprendre c'est quoi pouvez vous m'expliquer s'il vous plait parsque sur le net je trouve que des explications pour des personnes qui connaissent deja!!

merci

euh , je crois que je vais dire n'importe quoi , mais j'essaye(dslé pour ceux qui vont me reprendre , j'essaye juste d'apprendre à m'exprimer...) :

un gradient , c'est un vecteur à plusieurs dimensions qui décrit une évolution physique d'un champ ou autre , pour le calculer , on calcule toutes les dérivées partielles.

Par exemple , si l'on a une fonction f qui décrit l'évolution d'une grandeur physique par rapport à x , y et z :

f(x,y,z) = 2x+y+z

On fait :

soit grad f = 2x ,y ,z

[invite76db3c86]

en fait , on considère dans chaque dérivée partielle , que les autres variables sont nulles (on les traite séparement)

je sais pas si cette réponse convient , mais j'ai juste essayé

[invitef16d06a2]

on définit le gradient comme une grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

Partons du début .

Sais-tu ce qu'est un champ scalaire ?

Un champ scalaire est une fonction qui à un point de l'espace (le plus souvent) associe un réel. Par exemple la température dans ta chambre représente un champ scalaire, car en chaque point de ta chambre il y a une température différente.
On note cette fonction f(x,y,z).

Par exemple la fonction qui à un point de l'espace M(x,y,z) associe le réel f(x,y,z)=2x-3y²+6z est un champ scalaire.

Partant de là, le gradient de f est le vecteur

Dans le cas présent:


Donc le gradient de f a pour coordonnées (2,-6y,6).

Tu peux remarquer au passage que le gradient transforme un champ scalaire en champ vectoriel.


EDIT:

f(x,y,z) = 2x+y+z

On fait :

soit grad f = 2x ,y ,z

C'est faux ça (pas pour la définition du gradient,mais pour le calcul de tes dérivées partielles).

[invite40f82214]

merci beaucoup tout le monde, c'est tres gentil!!!!!!!
je crois que j'ai compris comment sa se calcul mais de la a trouvé le gradient moi meme d'un phenomaine physique je crois que sa va etre dur

merci encore

[invite76db3c86]

Partons du début .

Sais-tu ce qu'est un champ scalaire ?

Un champ scalaire est une fonction qui à un point de l'espace (le plus souvent) associe un réel. Par exemple la température dans ta chambre représente un champ scalaire, car en chaque point de ta chambre il y a une température différente.
On note cette fonction f(x,y,z).

Par exemple la fonction qui à un point de l'espace M(x,y,z) associe le réel f(x,y,z)=2x-3y²+6z est un champ scalaire.

Partant de là, le gradient de f est le vecteur

Dans le cas présent:


Donc le gradient de f a pour coordonnées (2,-6y,6).

Tu peux remarquer au passage que le gradient transforme un champ scalaire en champ vectoriel.


EDIT:



C'est faux ça (pas pour la définition du gradient,mais pour le calcul de tes dérivées partielles).

euh j'ai du fer une ereur...ah ui , pourquoi j'ai mis les variables dans le résultat???? pffff... sinon le reste ca allait?

[invite76db3c86]

Partons du début .

Sais-tu ce qu'est un champ scalaire ?

Un champ scalaire est une fonction qui à un point de l'espace (le plus souvent) associe un réel. Par exemple la température dans ta chambre représente un champ scalaire, car en chaque point de ta chambre il y a une température différente.
On note cette fonction f(x,y,z).

Par exemple la fonction qui à un point de l'espace M(x,y,z) associe le réel f(x,y,z)=2x-3y²+6z est un champ scalaire.

Partant de là, le gradient de f est le vecteur

Dans le cas présent:


Donc le gradient de f a pour coordonnées (2,-6y,6).

Tu peux remarquer au passage que le gradient transforme un champ scalaire en champ vectoriel.


EDIT:



C'est faux ça (pas pour la définition du gradient,mais pour le calcul de tes dérivées partielles).

le gradient ne s'applique pas aussi à un champ vectoriel?

[invitec053041c]

le gradient ne s'applique pas aussi à un champ vectoriel?

Non, mais on peut appliquer d'autres opérateurs à un champ vectoriel (rotationnel par exemple).

[invite76db3c86]

Non, mais on peut appliquer d'autres opérateurs à un champ vectoriel (rotationnel par exemple).

ah oui n justement , je n'ai pas bie,n compris ce qu'est un rotationel

[invite76db3c86]

Non, mais on peut appliquer d'autres opérateurs à un champ vectoriel (rotationnel par exemple).

Je crois que j'ai juste compris que c'est un vecteur formé des ,...

Mais , comment l'utilise-t-on?

[invite87912a33]

Soi-disant que tout est dans le nom :
- rotationnel, ça tourne,
- divergence, ça diverge
- et pour gradient, probablement que ça signifie simplement que ça varie au cours du temps...

Selon le résultat, tu dois pouvoir te faire une idée de l'évolution que va suivre ton champ au cours du temps.

[invite5af2de2f]

merci beaucoup tout le monde, c'est tres gentil!!!!!!!
je crois que j'ai compris comment sa se calcul mais de la a trouvé le gradient moi meme d'un phenomaine physique je crois que sa va etre dur

merci encore

Le gradient est une notion simple, c'est tout simplement un vecteur qui a pour composantes l'évolution d'un phénomène selon les directions du repere dans lequel on travail.
Prenons l'exemple de la température.
Imaginons une plaque de métal, pour me repérer sur cette plaque je dis que le bas de la plaque c'est l'axe Ox et le côté gauche l'axe Oy.
Chaque point de cette plaque à une température... donc la température est une fonction de la position sur cette plaque, on note T(x,y).
Quand je me déplace selon l'axe Ox je remarque que ma température évolue d'une certaine façon, quand je me déplace selon Oy elle évolue d'une certaine façon... Je peux donc représenter l'évolution de la température sur la plaque en fonction de chaque direction...
On a donc un truc qui dépend des 2 directions...on pourrait reprsenter ce "truc" par un vecteur...
Ce vecteur c'est le gradient.
Ses composantes sont la variation selon chaque direction c'est à dire les dérivée partielles selon Ox et Oy...

[invite35452583]

Un point de vue plus géométrique :
faisons "visible" donc prenons l'exemple d'une fonction à deux variables f(x,y).
On a d'un point de vue vectoriel
Or,
En posant , on a :


Ce qui signifie entre autres que si l'on se déplace selon une ligne de même niveau (f=cste) alors est orthogonal à cette ligne. le gradient est en fait la pente de la surface d'équation z=f(x,y) en chacun des points.
Un point de vue plus "différentielle" (c'est une forme duale très utilisée en l'analyse et en géométrie entre autres)
(juste l'idée ou "à la physicienne") on a vu que :

Rendons x_x₀ et y-y₀ infinitésimale cela devient :
, ou encore :
où D signifie dérivée totale.
Le gradient est la dérivée totale d'une 0-forme différentielle (en gros d'un champ scalaire pour faire simple)
On peut dériver totalement une 1-forme différentielle w=a(x,y)dx+b(x,y)dy

Or, (on intègre sur des surfaces, des volumes... donc ces dx se comportent avec les mêmes propriétyés d'antisymétrie qu'un déterminant) donc :

On tombe sur le rotationnel (vous pouvez regarder pour une forme à trois variables)
En particulier si on applique à un gradient D(f)
dès que f est suffisamment régulière.
On retrouve qu'un gradient "ne tourne pas".
Cela permet de voir que le rotationnel d'un champ de covecteurs (dx, dy, dz... sont des formes linéaires des espaces tangents).
Un illustration du fait que le rotationnel calcule "comment ça tourne ?"
On se place sur un petit carré de sommets (x,y) (x+d'x,y) (x+d'x,y+d'y) (x,y+d'y). Et on calcule l'intégrale du vecteur tangent le long du contour de ce carré aux infiniment petit d'ordre 2
entre (x,y) et (x+d'x,y) vecteur tangent i (dx->1 dy->0), on se déplace de d'x selon une valeur moyenne égale à d'où une intégrale égale à
entre (x+d'x,y) et (x+d'x,y+d'y) vecteur unitaire tangent j (dx->0 dy->1), on se déplace de d'y selon une valeur égale à d'où une intégrale égale à
Entre (x+d'x, y+d'y) et (x, y+d'y), vecteur tangent unitaire -i (dx->-1, dy->0) déplacement de d'y valeur moyenne d'où une intégrale égale à
Entre (x, y+d'y) et (x,y),vecteur unitaire tangent -j (dx->0 dy->-1) déplacement de d'x valeur moyenne donc intégrale égale à
L'intégrale sur l'ensemble du contour vaut donc :

Le rotationnel peut donc être vu comme l'intégration le long d'un contour infinitésimal d'où son nom.
Si on prend une partie du plan sans trou limité par une courbe régulière , on peut découper en petits rectangles de ce type, (les intégrales sur les contours intérieurs s'annulent deux par deux : une fois parcouru dans un sens une fois dans l'autre : c'est beau de simplicité), dans la somme totale il ne reste que l'intégrale le long du contour. On aboutit à la formule de Stockes dans le plan pour w une forme différentielle (très utilisé en électromagnétisme entre autres)
, résumé en cette superbe formule :

Ce qui est vrai au niveau infinétésimal est vrai aussi en fini (tant qu'il n'y a pas de trous).
Le montrer de manière générale est plus délicat mais l'essentiel de l'idée est là.

[invite35452583]

J'ai oublié :
comment voir qu'un gradient a un rotationnel nul ?
Et bien comme une forme gradient est une dérivée on a l'intégrale le long d'un chemin d'un gradient ne dépend que de l'origine et de l'arrivée :

ce qui nul si le chemin est un lacet (origine = extrémité).
De même une 2-forme différentielle qui est un rotationnel a une intégrale nulle sur une surface fermée (une sphère, un tore...)