Bonjour à tous !
J'ai quelques difficultés avec la notion de gradient : mathématiquement parlant, c'est un vecteur orienté dans le sens et la direction des variations les plus importantes d'après ce que j'ai compris.
Mais physiquement parlant, qu'est ce que recouvre cette notion ? Comment savoir si une force dérive d'un gradient ?
Pour toutes ces questions, je vous remercie d'avance de vos réponses ...
Le sens physique est aussi donné dans ton interprétationEnvoyé par snico
mathématique: par exemple dans une vision géographique avec un relief représenté par des altitudes différentes, le gradient de l'altitude te donne le sens dans lequel la pente est la plus importante (celle où donc un randonneur se fatiguerait le plus vite en grimpant). Enfin, on a plus l'habitude de dire "qu'un champ de vecteur" dérive d'un scalaire(potentiel, altitude...) par l'intermédiaire d'un gradient et, dans ce cas là, cela se vérifie car le travail de ce vecteur sur un contour fermé est nul. Toute ces propriétés ont des démonstrations très faciles, certains bouquins de physique les indiquent.
Dernière modification par b@z66 ; 22/10/2006 à 09h09.
si une force "derive d'un potentielle" (c'est a dire est le gradient d'un champ scalaire quelconque, qu'on appele potentielle) alors c'est une force conservative et ce potentielle est (au signe pres) l'energie potentielle attaché a la force.
c'est surtous le sens physique de cette situation !
apres il y a d'autre cas tous de meme :
par exemple dans un milieux ou la pression n'est pas homogène, on peut definir le gradient de la pression qui est un champ de vecteur qui va representez les variation de pression dans le milieux. et par exemple dans le cas d'un liquide imcompressible soumis uniquement a son poid le gradient de pression est vertical dirigé vers le haut et uniforme !
Bonjour,
Arghh... Cette interprétation n'est pas correcte, et même dangereusement telle. Prend un point selle, un col, et tu vois tout de suite que ça ne marche pas. Le gradient est nul, alors que la direction où la trajectoire "sera la plus fatigante" existe et n'est pas de pente nulle! Et cela se généralise en plein de points, comme une vallée par exemple: si tu suis un ruisseau, tu va dans le sens du gradient, alors que monter à droite ou à gauche apparaît plus raide!
Il faut procéder en deux étapes si on veux prendre cette image. La première étape est de prendre un plan, une zone parfaitement plate mais pas nécessairement horizontale. Alors, dans ce cas (et dans ce cas seulement), il est clair qu'il y a une pente maximale, celle-ci étant nulle dans le cas du plan horizontal. La direction ainsi que la valeur de la pente donne le gradient. Dans le cas d'un plan, le gradient est constant: il est partout le même, la pente maximale est toujours orientée dans la même direction, et toujours de même valeur.
La deuxième étape consiste à réaliser qu'en tout point géographique il y a un plan tangent, un plan qui "colle le mieux" à la géographie locale. Si on prend un point-selle, un col, on peut se convaincre que ce plan est horizontal. De même au fond d'une vallée, on arrive à concevoir que le plan est en gros la direction du ruisseau, légérement vers le haut dans le sens de l'amont, et dont la section horizontale est perpendiculaire à la direction du ruisseau.
Le gradient du champ d'altitude en un point a alors la direction de pente maximale du plan tangent en ce point, et a pour module la pente de ce plan.
Mathématiquement, le gradient n'est pas vraiment un vecteur, c'est une forme linéaire. On peut s'approcher de cette idée en disant la chose suivante. Si en un point je choisis une direction horizontale, le taux de montée d'une trajectoire passant par ce point et allant dans la direction
Un gradient est une manière de décrire toutes les pentes autour d'un point, pas seulement (et pas vraiment) la pente max. C'est la fonction (via le produit scalaire) qui associe à chaque direction la "pente" (la tangente) qu'a une trajectoire passant par le point et allant dans ladite direction.
Notons, pour ceux qui veulent progresser vers la géométrie différentielle et les tenseurs, dont la maîtrise est nécessaire pour la relativité générale, que comprendre un gradient comme une forme linéaire est tout à fait utile...
Cordialement,
Pour continuer, le sens physique du gradient est en fait assez simple. On apprend la notion de dérivée quand on prend une fonction de R vers R. Le gradient est très exactement l'équivalent de la notion de dérivée pour une fonction de Rn vers R.
Le rapport entre le plan tangent (l'hyperplan de dimension n) et la dérivée est comme suit: on peut interpréter la dérivée f'(x0) comme la pente de la droite tangente en (x0, f(x0)) à la courbe formée par les points (x, f(x)). Cette tangente est la droite y = f(x0) + f'(x)(x-x0).
Si l'on voit la dérivée comme la pente de la droite tangente, on peut comprendre le gradient comme les coefficients de la formule donnant le plan tangent, ou encore comme les composantes de la droite orthogonale à ce plan.
Ainsi, en reprenant un champ de hauteur (n=2), z = h(x, y), le plan tangent a pour équation
Cordialement,
Merci mmy pour la rectification, c'est vrai que l'analogie avec le randonneur n'était pas tout à fait pertinente. Le caractère local de la définition du gradient n'est en effet pas particulièrement adapté à la vision d'un randonneur qui peut regarder un peu plus loin que ses pieds pour trouver des chemins plus faciles.
Par contre concernant l'exemple d'une pierre qui dévalerait une pente (qu'elle dévale ou non au départ d'un des flancs du col), la tendance naturelle qu'elle aura sera toujours de suivre "plus ou moins" (il faut tenir compte de sa vitesse et de son inertie) une courbe décrite par le gradient de l'altitude (en l'occurence, elle descendrait finalement le long du ruisseau, dans le creux du col).
En tout cas merci, personellement je vais essayer de me renseigner un peu plus sur la géomètrie différentielle. Ca commence à faire pas mal de temps que je connais les opérateurs différentiels usuels du genre rot, div et grad mais effectivement j'aimerai bien voir comment cela se généralise dans d'autres dimensions. Encore merci.
