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comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?



  1. #1
    tangente

    Question comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Bonjour à tous!
    Comment fait-on pour démontrer que deux tangentes sont perpendiculires? Il s'agit des tangentes aux courbes exponentielles e^x et e^(-x).
    Merci!

    -----


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  3. #2
    tangente

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    j'ai déjà eu quelques pistes (et je remercie ce qui m'en ont envoyé
    des pts conseils) qui me disent qu'en calculant les dérivées des fonctions exponentielles c'était évident. Seulement je ne vois toujours pas: qu'est-ce qu'on fait des dérivées après les avoir calculées?
    Merci d'éclairer ma lanterne!

  4. #3
    Antikhippe

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    'lu,


    Piste : le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à chacune des deux courbes.

  5. #4
    tangente

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Sur l'histoire des coefficients directeurs je suis ok mais en quoi çà nous démontre que les tangentes sont perpendiculaires? Il faut qu'on trouve 0 ou un truc comme çà? Là je crois que mon cerveau bugg!!!

  6. #5
    invite43219988

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Tu as calculé les tangentes en quels points ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Stephen

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Calcule le point d'intersection (ici c'est pour x = 0). Ensuite, calcule la pente des tangentes en ce point (c'est la dérivée). Tu vas trouver que l'une vaut l'opposé de l'autre. Elles sont donc perpendiculaires.

    Leur produit ne doit pas être nul, ça n'a rien à voir : ça c'est quand tu fais le produit scalaire de deux vecteurs pour savoir s'ils sont orthogonaux.

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  10. #7
    invite43219988

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Tu vas trouver que l'une vaut l'opposé de l'autre. Elles sont donc perpendiculaires.

    Et depuis quand c'est vrai çà ??? Trace les courbes y=10x et y=-10x et regarde si elles sont perpendiculaires !!!

  11. #8
    invite43219988

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Ce que tu peux faire :
    Tu calcules tes deux dérivées en 0.
    Tu trouves a et b comme coeff directeurs : a=1 et b=-1
    Coeff de 1 : quand x augmente de 1, y augmente de 1
    Coeff de -1 : quand x augmente de 1, y diminue de 1
    On peut définir deux vecteurs directeurs avec çà :
    v(1,1)
    u(1,-1)
    u et v sont perpendiculaires ssi u.v=0
    u.v=xx'+yy'=1*1+1*(-1)=1-1=0
    Donc u et v sont orthogonaux. Comme ce sont les vecteurs directeurs des deux tangentes, les deux tangentes sont orthogonales.
    M'enfin si tu ne fais pas un cours sur les produits scalaires, il faut surement faire autrement mais je ne vois pas.

  12. #9
    tangente

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    On est dans le cours sur les fonctions exponentielles. j'ai calculé les équations des tangentes.
    J'ai trouvé y=e^(m).(x-m+1) pour le point M qui se trouve sur e^x avec pour abscisse m;
    et y=e^(-m).(m-x+1) pour le point N qui se trouve sur e^(-x) au point d'abscisse m.

    A(m,0) est un point qui intervient dans l'énoncé mais je ne m'en suis pas encore servi!
    Avec tt cela il faut montrer que les é tangentes sont perpendiculaires!

    Alala les maths!
    Merci de m'aider!

  13. #10
    Stephen

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Citation Envoyé par Ganash

    Et depuis quand c'est vrai çà ??? Trace les courbes y=10x et y=-10x et regarde si elles sont perpendiculaires !!!
    Tu as raison de douter Le dimanche matin est une période difficile, et j'oublie des inverses au passage

  14. #11
    Stephen

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Citation Envoyé par Ganash
    M'enfin si tu ne fais pas un cours sur les produits scalaires, il faut surement faire autrement mais je ne vois pas.
    Ta méthode le dit pourtant : il faut et il suffit que le produit des pentes soit -1.

  15. #12
    invite43219988

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Je suppose que ton point A(m,0) appartient aux deux tangentes.
    Tu résous :
    e^m(m-m+1)=0
    e^(-m)(1-m+m)=0
    (puisque l'image de m par la tangente vaut 0)
    Tu détermines m.
    Tu peux maintenant écrire tes deux équations de tangente avec x pour seule inconnue.
    Sinon Stephen, je ne vois pas bien ce que tu veux dire. Il faut que les pentes soit opposées et inverses ?
    Dernière modification par invite43219988 ; 17/10/2004 à 12h24.

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  17. #13
    invite43219988

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Ah oui Stephen c'est bon
    Merde je t'ai dit n'importe quoi tangente, A(m,0) n'appartient pas aux deux tangentes c'est pas possible. Il appartient à quoi ??

  18. #14
    Coincoin

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Salut tout le monde,
    A priori le point A(m,0) appartient à la bissectrice des deux tangentes... Mais je ne sais pas si on peut en faire quelque chose sans utiliser les produits scalaires (et alors autant l'utiliser directement).
    Stephen, dire que deux droites sont perpendiculaires si le coefficient directeur de l'une est l'opposé de l'inverse du coefficient directeur de l'autre me paraît bien compliqué à moins d'utiliser le produit scalaire (et là ça devient trivial).
    Mais je pense que Tangente a dû voir le produit scalaire, car si je me rappelle bien c'est au programme de 1ère alors que la fonction exponentielle est au programme de terminale... Mais je peux me tromper.
    Encore une victoire de Canard !

  19. #15
    tangente

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    le point A n'est sur aucune des représentations graphiques. Je vais essayer avec le produit scalaire pour voir si çà marche!

  20. #16
    tangente

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    le produit scalaire c'est bien beau mais je fais comment pour introduire le point A(m,0) qui ne se trouve sur aucune des deux droites?
    Ou alors je le laisse tomber? Comment on fait pour introduire la notion de bissectrices dans le produit scalaire? Je dois vous avouer que j'ai un peu oublier comment çà fonctionne!!

  21. #17
    invite43219988

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Ton point A(m,0), il est introduit comment dans l'énoncé ? Ton prof va pas écrire : "Soit A(m,0)" dans l'énoncé et passer à autre chose. Il a forcément fait un lien.

  22. #18
    tangente

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    J'aurais bien voulu qu'il y est un lien! Dans l'énoncé on admet l'existence de trois points, le point M d'abscisse m sur e^x, le point N d'abscisse m sur e^(-x) et le point A(m,O).
    C'est tt, il n'y a rien de plus! C'est bizarre et je suis tt à fait ok avec ganash!
    C'est pour cela que je m'interroge...

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  24. #19
    pallas

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    le point commun,est A(0;1)
    la pente de la tangente à exp(x) est f'(0)= 1 et celle à exp(-x) est g'(0)= -1
    car la dérivéee de exp(-x) = -exp(-x)
    comme le produit des pentes est -1 les droites sont donc perpendiculaires ;
    cqfd

  25. #20
    tangente

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Ok, c'est vraiment sympa de m'avoir aidé!! Merci beaucoup pour ttes ces réponses!!

  26. #21
    enderalartic

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    pour moi les derniers post repondent qu en certains points alors je vais preciser, tu reprends tes equations de tangentes du post 9 et il existe une propriete qui dit que si le produit des coef directeurs fait -1 les droites sont perpendiculaires tu remplace ca a l air de faire e^m*(-e^(-m)) et ca marche

  27. #22
    tangente

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    je te remercie pour tes précisions!!

  28. #23
    Carolane7613

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Citation Envoyé par invite43219988 Voir le message
    Ce que tu peux faire :
    Tu calcules tes deux dérivées en 0.
    Tu trouves a et b comme coeff directeurs : a=1 et b=-1
    Coeff de 1 : quand x augmente de 1, y augmente de 1
    Coeff de -1 : quand x augmente de 1, y diminue de 1
    On peut définir deux vecteurs directeurs avec çà :
    v(1,1)
    u(1,-1)
    u et v sont perpendiculaires ssi u.v=0
    u.v=xx'+yy'=1*1+1*(-1)=1-1=0
    Donc u et v sont orthogonaux. Comme ce sont les vecteurs directeurs des deux tangentes, les deux tangentes sont orthogonales.
    M'enfin si tu ne fais pas un cours sur les produits scalaires, il faut surement faire autrement mais je ne vois pas.
    Bonjour à tous le monde, me voila arrivé un peu tard ^^ Mais j'ai le meme éxercice à faire et ce que je ne comprend pas c'est comment vous avez trouvé les dérivés ? Pourriez vous m'aider svp

  29. #24
    matt 91

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    La dérivée de y=ex est ex ( fonction exponentielle).
    Donc le coefficient directeur de la tangante en un point x0 est ex0.

    Tu fais la meme chose pour l'autre fonction e-x. La dérivée est -e-x (utilise la règle sur la dérivée de composition de fonction pour le voir).
    Donc le coefficient directeur de la tangante en un point x0 est -e-x0.

    Sachant que pour que 2 droites soient perpendiculaires, il faut que le produit de leur coefficient directeur soit égale a 0, tu peux conclure assez facilement

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  31. #25
    Carolane7613

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Citation Envoyé par matt 91 Voir le message
    La dérivée de y=ex est ex ( fonction exponentielle).
    Donc le coefficient directeur de la tangante en un point x0 est ex0.

    Tu fais la meme chose pour l'autre fonction e-x. La dérivée est -e-x (utilise la règle sur la dérivée de composition de fonction pour le voir).
    Donc le coefficient directeur de la tangante en un point x0 est -e-x0.

    Sachant que pour que 2 droites soient perpendiculaires, il faut que le produit de leur coefficient directeur soit égale a 0, tu peux conclure assez facilement



    OK... Mais dans la conversation, un peu plus haut, ils disent qu'ils ont trouvé pour coefficients directeurs: a=1 et b= -1 ...
    Mais je ne comprend pas comment ils en sont arrivé là ...

  32. #26
    yootenhaiem

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Bonjour,

    Deux droites sont perpendiculaires si leurs coeff directeurs sont opposes ... Ca s'explique je pense

  33. #27
    Carolane7613

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Citation Envoyé par donkishot Voir le message
    Bonjour,

    Deux droites sont perpendiculaires si leurs coeff directeurs sont opposes ... Ca s'explique je pense
    Oui j'ai bien compris ça, mais moi je n'arrive pas à trouver les deux coefficients directeurs des deux tangentes T1 et T2 ... Je ne comprend pas comment ils ont fait ...

  34. #28
    benbigouden

    Re : comment démontrer que 2 tangentes st perpendiculaires?

    Les deux fonctions initiales sont donc :
    - f(x) = exp(x)
    - g(x) = exp(-x)

    L'équation d'une tangente est donnée par la relation suivante :
    y = f'(a)(x-a)+f(a) (droite affine sous la forme y=mx+p)
    avec : a l'abscisse du point M
    f(a) l'ordonnée du point M
    f'(a) la dérivé au point M
    Pour trouver f'(a) il faut que tu calcul les derviée des fonctions initiales soit :
    - f(x) = exp(x) et f'(x)= exp(x) , ce qui est une des deux propriétés fondamentales de l'exponantielle [exp(x)]'=exp(x) et exp(0)=1
    - g(x) = exp(-x) et g'(x)=- exp(-x) , tu peux retrouver cette dérivée en appliquant les règles de calcul des dérivée :
    exp(-x)= 1/exp(x) et tu pose (u/v)'= [u'v-uv'] / v²

    Tu peux à présent determiner l'équation d'une tangente aux droites f et g :

    T1 : y=f'(a)(x-a)+f(a) = exp(a)(x-a)+exp(a)
    T2 : y=g'(a)(x-a)+f(a) = -exp(-a)(x-a)+exp(-a)
    Tu laisses sous la forme y=mx+p (m : coefficient directeur)

    Or on sait (fin peut-être ^^) que :
    Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coéf. directeur est égal à -1.
    Tu vérifies : f'(a) x g'(a)
    = exp(a) x -exp(-a)
    = - [exp(a) x exp(-a)]
    = - [exp(a + (-a))]
    = - [exp(O)] or exp(O)=1 donc,
    = - 1

    J'espère avoir été clair, benbigouden.

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