Dm Maths Ptsi

[invite75a8729c]

Voila je suis en prepa ptsi et jai un exo d'un dm de math sur lequel je bloque si vous pouviez m'aider ca serait tres sympa !! :

"Soit n un entier naturel non nul. On considère l'équation (E) d'inconnue z suivante :
z^n = (z+i)^n

1)a. Sans résoudre (E), montrer que les images de ses solutions sont situées sur une même droite dont on donnera une équation cartésienne.
j'ai essayé quelque chose mais ca bloque:
<=> (|z|e^(i.teta))^n = (z+i)^n
<=> |z|^n e^(i.teta.n)= (z+i)^n
Apres je bloque je narrive pas exprimer le module et largument (teta) seuls ... si vous pouviez m'éclairer ..

b. Réciproquement, peut-on affirmer que tous les points de cette droite ont pour affixe une solution de (E)?

2) Résoudre l'équation (E) et exprimer la partie reelle et imaginaire à l'aide de la fonction cotan.

Merci d'avance
Bonne soirée
Alice
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[invitec053041c]

Bonsoir.

En passant au module et en écrivant z=x+iy (réflexe à avoir lorsqu'on demande une équation cartésienne), tu obtiens :



Qui sont des réels, or on sait que le module est un réel positif, donc on n'a pas à raisonner selon la parité de n (pour 2 solutions éventuellement opposées), on obtient donc:



A partir de là, je te laisse faire la suite, ça vient tout seul (quit à passer au carré des modules).


Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Salut,

En fait, c'est quand même assez clair une fois que tu as compris que
|z| = |z+i|. En effet, c'est la définition d'une médiatrice....

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rvz