Topologie produit !

invite52487760 · 13/10/2007, 05h45

Bonjour:
Définition:
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux espaces topologiques.
Un ouvert élémentaire de $\text{[math]}$ est un rectangle de la forme $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ .
Un ouvert de $\text{[math]}$ est une reunion quelconque de rectangles.
i.e :
$\text{[math]}$ est un ouvert si $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .
Les ouverts ainsi définis constitue une topologie sur $\text{[math]}$ appelée la topologie produit.

Question :
Est ce qu'une intersection fini de rectangles n'est pas necessairement un ouvert de la topologie produit .. c'est ce que notre prof nous a dit un jour, si je me rappelle bien ... Est ce que celà est vrai ?
Merci infiniment !!

**Médiat** · 13/10/2007, 06h09

Envoyé par chentouf

Question :
Est ce qu'une intersection fini de rectangles n'est pas necessairement un ouvert de la topologie produit .. c'est ce que notre prof nous a dit un jour, si je me rappelle bien ... Est ce que celà est vrai ?

Une intersection finie d'ouverts est un ouvert dans toutes les topologies, je ne vois pas où est le problème (si tu parles bien de "rectangles" ouverts) ....

invite52487760 · 13/10/2007, 06h14

D'accord, Mediat, merci !!
C'est peut être moi qui a mal entendu ce que le prof a dit !!
Merci en tous cas !!

**Romain-des-Bois** · 13/10/2007, 13h29

Salut !

Si pour toi un rectangle c'est AxB avec A et B ouverts, alors oui toute intersection finie de rectangles est un ouvert

mais si un rectangle c'est juste AxB (sans préciser si A et B sont ouverts), alors tu ne peux rien dire en général sur l'intersection finie de rectangles.

Il y a aussi : l'intersection infinie d'ouverts peut être un fermé (penser à ]-n;n[ dans IR)

Romain

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invite52487760 · 13/10/2007, 14h33

Bonjour :
Comment on construit la topologie usuelle de $\text{[math]}$ ?
Merci d'avance !!

**Médiat** · 13/10/2007, 14h41

Envoyé par chentouf

Comment on construit la topologie usuelle de $\text{[math]}$ ?

C'est la topologie induite par la distance.

invite52487760 · 13/10/2007, 14h46

Est ce que c'est pas la topologie qui contient les ouverts engendré par les boules $\text{[math]}$ ( les intevalles ouverts ) c'est à dire chaque ouverts est reunion quelconque de ces boules !! C'est ça la definition de la topologie usuelle ?!

**Médiat** · 13/10/2007, 15h02

Envoyé par chentouf

Est ce que c'est pas la topologie qui contient les ouverts engendré par les boules $\text{[math]}$ ( les intevalles ouverts ) c'est à dire chaque ouverts est reunion quelconque de ces boules !! C'est ça la definition de la topologie usuelle ?!

Oui, c'est bien cela

invite52487760 · 13/10/2007, 17h06

Bonjour :
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux espaces topologiques ( $\text{[math]}$ est séparé ).
Soient $\text{[math]}$ une application quelconque et son graphe $\text{[math]}$
Montrer que :
$\text{[math]}$ est continue $\text{[math]}$ est fermé dans $\text{[math]}$ .
Je ne vois pas par quoi commencer, est ce que vous pouvez m'aider ?!
Merci infiniment !!

invite52487760 · 13/10/2007, 18h54

Help pls, par quoi il faut commencer ?!

**invite35452583** · 13/10/2007, 19h43

Envoyé par chentouf

Bonjour :
Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux espaces topologiques ( $\text{[math]}$ est séparé ).
Soient $\text{[math]}$ une application quelconque et son graphe $\text{[math]}$
Montrer que :
$\text{[math]}$ est continue $\text{[math]}$ est fermé dans $\text{[math]}$ .
Je ne vois pas par quoi commencer, est ce que vous pouvez m'aider ?!
Merci infiniment !!

Un fermé est le complémentaire d'un ouvert. Il faut donc montrer que pour un point (x,y) tel que y soit distinct de f(x) alors il existe UxV contenant (x,y) ne coupant pas le graphe. Pour trouver ces ouverts U et V, il faut utiliser la séparabilité et la continuité. Faire un dessin d'un graphe d'une fonction continue de R dans R aide à trouver le cas général.

**invite35452583** · 13/10/2007, 19h46

Envoyé par chentouf

Est ce que c'est pas la topologie qui contient les ouverts engendré par les boules $\text{[math]}$ ( les intevalles ouverts ) c'est à dire chaque ouverts est reunion quelconque de ces boules !! C'est ça la definition de la topologie usuelle ?!

On peut aussi la définir comme la topologie de l'ordre qui dit que les intervalles ouverts (au sens de l'ordre) ]a,b[={x ; a<x<b} forment une base de voisinage : i) U contenant x est un voinage ouvert ssi il contient un intervalle contenant lui-même x
ii) un sous-ensemble est un ouvert ssi il est un voisinage de chacun de ces points.

**invite35452583** · 13/10/2007, 19h53

Envoyé par Médiat

Une intersection finie d'ouverts est un ouvert dans toutes les topologies, je ne vois pas où est le problème (si tu parles bien de "rectangles" ouverts) ....

Le problème est que ce n'est pas parce qu'on appelle les rectangles UxV ouverts qu'ils sont des bons ouverts pour une topologie.
Il faut vérifier ceci :

Envoyé par chentouf

Un ouvert de $\text{[math]}$ est une reunion quelconque de rectangles.
i.e :
$\text{[math]}$ est un ouvert si $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ .
Les ouverts ainsi définis constitue une topologie sur $\text{[math]}$ appelée la topologie produit.

Autrement dit les rectangles ouverts forment une base de voisnages d'une topologie. Pour cela il faut que leur intersection finie reste dans la famille des rectangles ouverts. Sinon, la condition ci-dessus s'écrit avec des intersections et çà commence à devenir dur à manipuler.
Question :
Est ce qu'une intersection fini de rectangles n'est pas necessairement un ouvert de la topologie produit .. c'est ce que notre prof nous a dit un jour, si je me rappelle bien ... Est ce que celà est vrai ?
[/QUOTE]
Si ce sont des rectangles ouverts si !
L'intersection de UxV avec U'xV' est un rectangle ouvert ? oui c'est égal à (U inter U')x(V inter V'). ceci se généralise à l'intersection finie de rectangles, si chacun d'eux est un rectangle ouvert alors les deux intersections (car finies) sont ouvertes.

invite52487760 · 13/10/2007, 21h20

Montrons que : $\text{[math]}$ est fermé, c'est à dire : $\text{[math]}$ est ouvert.

Soit $\text{[math]}$

Alors : $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ deux ouverts tels que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Puisque $\text{[math]}$ est continue : $\text{[math]}$ un ouvert de $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$

Par conséquent : $\text{[math]}$

C'est à dire :
$\text{[math]}$

D'ou : $\text{[math]}$
Est ce que c'est ça le raisonnement ?!
Merci d'avance !!

**invite35452583** · 13/10/2007, 21h50

Le raisonnement c'est ça à part ici

Envoyé par chentouf

Par conséquent : $\text{[math]}$

c'est $\text{[math]}$ .

invite52487760 · 13/10/2007, 22h03

Merci "homotopie pour ta reponse !!
Mais comment concrètement passer de :
$\text{[math]}$ à : $\text{[math]}$ .. Je l'ai juste écrit comme ça sans vraiment bien la comprendre ... Est ce que tu peux me detailler un peu plus les etapes qu'il faut suivre pour y arriver ?!
Merci infiniment !!

**invite35452583** · 13/10/2007, 22h56

Que vaut $\text{[math]}$ ?
Dans quoi est inclus $\text{[math]}$ ? (Tu peux remplacer Wy par n'importe quel autre sous-espace de E)
Il ne reste qu'à conclure.

invite52487760 · 13/10/2007, 23h36

Envoyé par homotopie

Que vaut $\text{[math]}$ ?

$\text{[math]}$

Envoyé par homotopie

Dans quoi est inclus $\text{[math]}$ ? (Tu peux remplacer Wy par n'importe quel autre sous-espace de E)

là, je sais pas, j'ai pas compris !!
Il faut montrer que $\text{[math]}$ , n'est ce pas ?

**invite35452583** · 14/10/2007, 00h32

Envoyé par chentouf

là, je sais pas, j'ai pas compris !!
Il faut montrer que $\text{[math]}$ , n'est ce pas ?

Change l'union de mon post en intersection (il n'y a qu'une lettre de différence sous Latex

).

invite52487760 · 14/10/2007, 12h14

Bonjour "homotopie" :
On a : $\text{[math]}$
Donc :
$\text{[math]}$
Est ce que c'est ça ?
Mais il manque encore un petit resonnement rigoureux pour prouver que : $\text{[math]}$
Comment faire, si c'est correct ?!
Merci infiniment !!

invite52487760 · 14/10/2007, 12h15

Bonjour "homotopie" :
On a : $\text{[math]}$
Donc :
$\text{[math]}$
Est ce que c'est ça ?
Mais il manque encore un petit resonnement rigoureux pour prouver que : $\text{[math]}$
Comment faire, si c'est correct ?!
Merci infiniment !!

invite52487760 · 14/10/2007, 12h25

non, pas la peine, c'est clair je pense !! Merci "homotopie" !!

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