Bonjour.
J'aimerais que quelqu'un me donne un représentant par exemple de l'anneau R[X]/(x).
En fait j'ai un peu du mal avec tout et je ne vois pas la corrélation avec les représentants de Z/nZ par exemple.
On a C=R[X]/(X²+1).
Pourtant, les représentants de R[X]/(X²+1) sont des polynômes non ? N'est-ce pas l'ensemble des polynômes qui ont le même reste dans la division euclidienne par x²+1 ?
R[X]/(X), c'est R.
faire un quotiens par l'idéal engendré par X, ca revient a poser X=0. quand tu pose X=0 dans un polynome il ne reste que le scalaire correspondant au coeficient d'ordre 0.
formellement, pour le prouver tu utilise le morphisme f : R[X]->R, qui a P ->P(0)
tu vérifie que Ker(f) = (X), donc f induit un isomorphisme entre R[X]/(X) et R !
argh c'est horrible les anneaux quotients, j'ai vu ça l'an dernier, je suis bien content d'en avoir fini
Sinon j'ai ressorti mon cours d'algèbre un coup et je me souviens que j'utilisais souvent le fait que :
Soitun coprs commutatif et
Toute classe latérale
Les polynôme de degré strictement inférieur à n forment donc un système de réprésentant des classes latérales de
Ainsi, si x désigne la classe latérale de
peut s'écrire de façon unique sous la forme
ou les ai sont des éléments de
L'addition dans A de décrit de la façon usuelle, la multiplication se décrit en utilisant les règles d'associativité, distributivité, commutativité et la règle P(x) = 0
C'est très pratique comme astuce
MMmmh d'accord mais dans un cas plus général :faire un quotiens par l'idéal engendré par X, ca revient a poser X=0. quand tu pose X=0 dans un polynome il ne reste que le scalaire correspondant au coeficient d'ordre 0.
R[X]/(X²) serait donc l'ensemble des polynômes à coefficients dans R et dont tous les facteurs ai de puissances impaires de X sont nuls ?
Et que dire pour R[X]/((x+1)(x+2)) par exemple ?
Sinon je ne suis pas sur d'avoir tout compris Bleyblue.
Mais il me semble donc que si je considère R[X]/(X²+1), un représentant s'écrit :
P(X)+(X²+1)R[X] où P(X) est un polynôme de R[X] ?
Je ne comprends pas rahhhhh
En quoi cela décrit C ?
R[X]/(X²) serait donc l'ensemble des polynômes à coefficients dans R et dont tous les facteurs ai de puissances impaires de X sont nuls ? >>>
non, c'est uniquement des polynome en a*x+b, et quand on multiplie on enlève tous les terme au dessu de x (comme pour la multiplication des dévelopement limité quoi...) je connait pas de nom plus simple pour décrire cela ^^
R[X]/(x+1)(x+2) euh... je vois pas d'image tres simple pour décrice ca... des polynome de degré 1 et on fais les calcule modulo (x+1)(x+2)...
Bon, on reprend un peu les quotients je crois :
les élement de R[X]/P sont effectivement des ensembles Q+P.R[X].
mais on a tot fait d'identifier les classes avec leurs représentant, donc c'est un ensemble de polynomes réel, mais on l'on convient que A=B si A-B est divisible par P, et par division euclidienne tous polynome à un unique représentant de degré inférieur a P.
donc, par exemple R[X]/(x²+1) on le note comme des polynomes a*x+b, avec la régle de calcule x²=-1, c'est pour cela qu'on obtiens C (pour le prouver on considère le morphisme f : P->P(i), ker(f)=(x²+1) donc quand on passe au quotiens ca devient un isomorphisme...
Merci beaucoup je crois avoir compris
Rebonjour !
Et je continue à vous embêter pour finir en beauté !
Je dois montrer que si K est un corps :
K[X]/(X²-1) isomorphe à K[X]/(X²-4) (en tant qu'anneaux)
Donc là déja j'ai une question.
Le deuxième anneau, contient les polynômes (classes de polynômes) de la forme aX+b avec X²=4 ? Mais dans ce cas, puisque X= + ou - 2, c'est les polynômes constants de la forme -2a+b, 2a+b ? En fait ce qui me choque, c'est que quelque soit l'idéal qui quotiente mon anneau, je pourrai toujours me ramener à des représentants constants dans le corps K non ?
Sinon j'essaie d'introduire un morphisme d'évaluation de noyau (X²-1) (pour montrer l'isomorphisme précédent), forcément le truc bateau c'est P->P(1) ou P->P(-1). Dans un cas, (X-1) fonctionne et dans l'autre (X+1) fonctionne. Leur produit fait (X²-1) m'enfin c'est pas très rigoureux tout ça
Bonne idée de départ, maintenant on mixte :Envoyé par Ganash
Sinon j'essaie d'introduire un morphisme d'évaluation de noyau (X²-1) (pour montrer l'isomorphisme précédent), forcément le truc bateau c'est P->P(1) ou P->P(-1). Dans un cas, (X-1) fonctionne et dans l'autre (X+1) fonctionne. Leur produit fait (X²-1) m'enfin c'est pas très rigoureux tout ça
e : K[X]->KxK avec e(P)=(P(1),P(-1))
e est surjective (regarder les images des a(X+1)+b(X-1))
e est de noyau (quelle est la forme générale d'un polynôme tel que P(1)=P(-1)=0) ?
e passe au quotient qui est un isomorphisme intéressant par rapport à la question.
On recommence de manière similaire en évaluant en 2 et en -2.
On conclue.
NON, X²=4=2² implique (X-2)(X+2)=0 et on ne conclue X=+/-2 que si on est dans un anneau intègre ce qui n'est pas le cas ici car l'idéal (X²-4) n'est pas premier.
Merci !
D'accord alors j'écris la résolution !
Soit e:K[X]->KxK
e(P)=(P(1),P(-1))
e est surjective car si l'on prend a et b quelqconque de K, on a e(a(X+1)+b(X-1))=(2a,-2b). Là on peut bien entendu en fixer un (genre a) et se débrouiller pour que l'autre (donc b) parcourt K mais comment être sur que -2b parcourt K ? Enfin j'imagine que c'est parce que K est un corps mais je ne vois pas bien.
Cherchons le noyau... : e(P)=0 revient à chercher P tel que P(1)=P(-1)=0
L'ensemble des polynômes vérifiant cela est (X-1)(X+1)*K[X]=(X²-1)K[X], c'est à dire l'idéal engendré par X²-1.
Donc K[X]/(X²-1)=K²
Soit h : K[X]->KxK
h(P)=(P(2),P(-2))
h est surjective car h(a(X+2)+b(X-2))=(4a,-4b).
Cherchons le noyau : L'ensemble des polynômes vérifiant P(2)=P(-2)=0 est (X-2)(X+2)K[X]=(X²-4)K[X]
Donc K[X]/(X²-4)=K²=K[X]/(X²-1).
Sinon une petite question. Pour savoir que (X²-4) n'est pas premier, faut-il faire comme cela :
Soit PQ un élément de (X²-4), c'est-à-dire P(X)Q(X)=(X²-4)R(X)
P(X)=X-2 et Q(X)=(X+2)R(X), fonctionne et P et Q ne sont pas des éléments de l'idéal (X²-4), donc (X²-4) n'est pas premier.
C'est ça ?
Dans le cas de R[X]/(X²+1), on a :
P(X)Q(X)=(X²+1)R(X)
On a nécessairement P(X) (ou Q(X)) = (X²+1)R(x) puisque X²+1 est irréductible dans R. Donc, l'idéal est bien premier et C est intègre c'est ça ?
Rapidement
tous les éléments de KxK peuvent se mettre sous la forme (2a,-2b) car on peut diviser par 2*.
*du moins si car(K) est différente de 2, dans ce cas le résultat est vrai aussi mais il faut changer de preuve).
Pour (X²-4) premier, c'est ça en prenant Q(X)=X+2 car rien ne dit que R(X) ne soit pas dans (X²-4).
Pour (X²+1) et C c'est bien ça (on a en plus que l'idéal est maximal et donc C est un corps).
Merci beaucoup !
