Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 12 sur 12

Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.



  1. #1
    invite43219988

    Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.


    ------

    Bonjour.
    J'aimerais que quelqu'un me donne un représentant par exemple de l'anneau R[X]/(x).
    En fait j'ai un peu du mal avec tout et je ne vois pas la corrélation avec les représentants de Z/nZ par exemple.
    On a C=R[X]/(X²+1).
    Pourtant, les représentants de R[X]/(X²+1) sont des polynômes non ? N'est-ce pas l'ensemble des polynômes qui ont le même reste dans la division euclidienne par x²+1 ?

    -----

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    Ksilver

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    R[X]/(X), c'est R.



    faire un quotiens par l'idéal engendré par X, ca revient a poser X=0. quand tu pose X=0 dans un polynome il ne reste que le scalaire correspondant au coeficient d'ordre 0.


    formellement, pour le prouver tu utilise le morphisme f : R[X]->R, qui a P ->P(0)

    tu vérifie que Ker(f) = (X), donc f induit un isomorphisme entre R[X]/(X) et R !

  5. #3
    Bleyblue

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    argh c'est horrible les anneaux quotients, j'ai vu ça l'an dernier, je suis bien content d'en avoir fini

    Sinon j'ai ressorti mon cours d'algèbre un coup et je me souviens que j'utilisais souvent le fait que :

    Soit un coprs commutatif et un polynôme de degré n
    Toute classe latérale de l'idéal comprend un et un seul polynôme de degré strictement inférieur à n, à savoir le reste de la division de T par P
    Les polynôme de degré strictement inférieur à n forment donc un système de réprésentant des classes latérales de dans

    Ainsi, si x désigne la classe latérale de , tout élément du quotient

    peut s'écrire de façon unique sous la forme



    ou les ai sont des éléments de , désigne la classe latérale de

    L'addition dans A de décrit de la façon usuelle, la multiplication se décrit en utilisant les règles d'associativité, distributivité, commutativité et la règle P(x) = 0

    C'est très pratique comme astuce

  6. #4
    invite43219988

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    faire un quotiens par l'idéal engendré par X, ca revient a poser X=0. quand tu pose X=0 dans un polynome il ne reste que le scalaire correspondant au coeficient d'ordre 0.
    MMmmh d'accord mais dans un cas plus général :
    R[X]/(X²) serait donc l'ensemble des polynômes à coefficients dans R et dont tous les facteurs ai de puissances impaires de X sont nuls ?

    Et que dire pour R[X]/((x+1)(x+2)) par exemple ?

    Sinon je ne suis pas sur d'avoir tout compris Bleyblue.
    Mais il me semble donc que si je considère R[X]/(X²+1), un représentant s'écrit :
    P(X)+(X²+1)R[X] où P(X) est un polynôme de R[X] ?
    Je ne comprends pas rahhhhh
    En quoi cela décrit C ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Ksilver

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    R[X]/(X²) serait donc l'ensemble des polynômes à coefficients dans R et dont tous les facteurs ai de puissances impaires de X sont nuls ? >>>

    non, c'est uniquement des polynome en a*x+b, et quand on multiplie on enlève tous les terme au dessu de x (comme pour la multiplication des dévelopement limité quoi...) je connait pas de nom plus simple pour décrire cela ^^


    R[X]/(x+1)(x+2) euh... je vois pas d'image tres simple pour décrice ca... des polynome de degré 1 et on fais les calcule modulo (x+1)(x+2)...

  9. #6
    Ksilver

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    Bon, on reprend un peu les quotients je crois :


    les élement de R[X]/P sont effectivement des ensembles Q+P.R[X].

    mais on a tot fait d'identifier les classes avec leurs représentant, donc c'est un ensemble de polynomes réel, mais on l'on convient que A=B si A-B est divisible par P, et par division euclidienne tous polynome à un unique représentant de degré inférieur a P.


    donc, par exemple R[X]/(x²+1) on le note comme des polynomes a*x+b, avec la régle de calcule x²=-1, c'est pour cela qu'on obtiens C (pour le prouver on considère le morphisme f : P->P(i), ker(f)=(x²+1) donc quand on passe au quotiens ca devient un isomorphisme...

  10. Publicité
  11. #7
    invite43219988

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    Merci beaucoup je crois avoir compris

  12. #8
    invite43219988

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    Rebonjour !
    Et je continue à vous embêter pour finir en beauté !
    Je dois montrer que si K est un corps :
    K[X]/(X²-1) isomorphe à K[X]/(X²-4) (en tant qu'anneaux)
    Donc là déja j'ai une question.
    Le deuxième anneau, contient les polynômes (classes de polynômes) de la forme aX+b avec X²=4 ? Mais dans ce cas, puisque X= + ou - 2, c'est les polynômes constants de la forme -2a+b, 2a+b ? En fait ce qui me choque, c'est que quelque soit l'idéal qui quotiente mon anneau, je pourrai toujours me ramener à des représentants constants dans le corps K non ?

    Sinon j'essaie d'introduire un morphisme d'évaluation de noyau (X²-1) (pour montrer l'isomorphisme précédent), forcément le truc bateau c'est P->P(1) ou P->P(-1). Dans un cas, (X-1) fonctionne et dans l'autre (X+1) fonctionne. Leur produit fait (X²-1) m'enfin c'est pas très rigoureux tout ça

  13. #9
    homotopie

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message

    Sinon j'essaie d'introduire un morphisme d'évaluation de noyau (X²-1) (pour montrer l'isomorphisme précédent), forcément le truc bateau c'est P->P(1) ou P->P(-1). Dans un cas, (X-1) fonctionne et dans l'autre (X+1) fonctionne. Leur produit fait (X²-1) m'enfin c'est pas très rigoureux tout ça
    Bonne idée de départ, maintenant on mixte :
    e : K[X]->KxK avec e(P)=(P(1),P(-1))
    e est surjective (regarder les images des a(X+1)+b(X-1))
    e est de noyau (quelle est la forme générale d'un polynôme tel que P(1)=P(-1)=0) ?
    e passe au quotient qui est un isomorphisme intéressant par rapport à la question.
    On recommence de manière similaire en évaluant en 2 et en -2.
    On conclue.

    Citation Envoyé par Ganash
    Mais dans ce cas, puisque X= + ou - 2,
    NON, X²=4=2² implique (X-2)(X+2)=0 et on ne conclue X=+/-2 que si on est dans un anneau intègre ce qui n'est pas le cas ici car l'idéal (X²-4) n'est pas premier.

  14. #10
    invite43219988

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    Merci !
    D'accord alors j'écris la résolution !
    Soit e:K[X]->KxK
    e(P)=(P(1),P(-1))
    e est surjective car si l'on prend a et b quelqconque de K, on a e(a(X+1)+b(X-1))=(2a,-2b). Là on peut bien entendu en fixer un (genre a) et se débrouiller pour que l'autre (donc b) parcourt K mais comment être sur que -2b parcourt K ? Enfin j'imagine que c'est parce que K est un corps mais je ne vois pas bien.
    Cherchons le noyau... : e(P)=0 revient à chercher P tel que P(1)=P(-1)=0
    L'ensemble des polynômes vérifiant cela est (X-1)(X+1)*K[X]=(X²-1)K[X], c'est à dire l'idéal engendré par X²-1.
    Donc K[X]/(X²-1)=K²

    Soit h : K[X]->KxK
    h(P)=(P(2),P(-2))
    h est surjective car h(a(X+2)+b(X-2))=(4a,-4b).
    Cherchons le noyau : L'ensemble des polynômes vérifiant P(2)=P(-2)=0 est (X-2)(X+2)K[X]=(X²-4)K[X]
    Donc K[X]/(X²-4)=K²=K[X]/(X²-1).

    Sinon une petite question. Pour savoir que (X²-4) n'est pas premier, faut-il faire comme cela :
    Soit PQ un élément de (X²-4), c'est-à-dire P(X)Q(X)=(X²-4)R(X)
    P(X)=X-2 et Q(X)=(X+2)R(X), fonctionne et P et Q ne sont pas des éléments de l'idéal (X²-4), donc (X²-4) n'est pas premier.
    C'est ça ?

    Dans le cas de R[X]/(X²+1), on a :
    P(X)Q(X)=(X²+1)R(X)
    On a nécessairement P(X) (ou Q(X)) = (X²+1)R(x) puisque X²+1 est irréductible dans R. Donc, l'idéal est bien premier et C est intègre c'est ça ?

  15. #11
    homotopie

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    Rapidement
    tous les éléments de KxK peuvent se mettre sous la forme (2a,-2b) car on peut diviser par 2*.
    *du moins si car(K) est différente de 2, dans ce cas le résultat est vrai aussi mais il faut changer de preuve).

    Pour (X²-4) premier, c'est ça en prenant Q(X)=X+2 car rien ne dit que R(X) ne soit pas dans (X²-4).

    Pour (X²+1) et C c'est bien ça (on a en plus que l'idéal est maximal et donc C est un corps).

  16. #12
    invite43219988

    Re : Groupes quotients, anneaux quotients et représentants.

    Merci beaucoup !

  17. Publicité

Discussions similaires

  1. Anneaux..........
    Par Lazy Photon dans le forum Matériel astronomique et photos d'amateurs
    Réponses: 3
    Dernier message: 30/04/2007, 19h38
  2. exos sur les groupes et sous-groupes, quelqu'un peut-il m'aider?
    Par quentinou dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 29/01/2007, 23h29
  3. exercices sur groupes, anneaux, et corps...
    Par BillyNut's dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 03/01/2007, 19h37
  4. Anneaux quotients et domaines d'intégrité
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 02/01/2007, 21h40
  5. Groupes : union de sous-groupes.
    Par Esth3r dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 23
    Dernier message: 28/04/2006, 13h25