Anneaux quotients et domaines d'intégrité

[Bleyblue]

Bonjour,

Soit A un anneau abélien non trivial et P un élément de A[X] (polynôme en X à coefficients dans A) j'aimerais bien savoir quand est-ce que l'anneau :



est un domaine d'intégrité (c'est à dire que ça revient à vérifier qu'il ne possède pas de diviseur de zéro vu qu'il sera d'office commutatif au vu de la commutativité de A)

Ici le "zéro" c'est bien entendut la classe latérale de 0 c'est à dire les éléments de la forme P.A[X]

Il y a certains cas ou c'est évident, par exemple :



n'est bien sûr pas intègre vu que (je désignerai par c(P) la classe latérale de p) par exemple : c(x) est non nul, de meme c(x + 1) est non nul mais par contre :

c(x).c(x + 1) = c(x² + x) = P.A[X]

Est-ce qu'il suffit que P soit irréductible dans A[X] ? (par définition un élément est irréductible s'il n'est pas nul, s'il n'est pas inversible, et qu'il ne peut etre divisé que par lui meme ou par un inversible)

merci
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[Gwyddon]

Salut Bleyblue,

Effectivement il me semble qu'une condition nécessaire et suffisante est l'irréductibilité du polynôme envisagé. Mais à prendre avec des pincettes, je travaille sur du souvenir là

[Bleyblue]

Il me semble aussi mais je ne suis pas sûr

Je peux donc déduire ces résultats ci :

est intègre pour tout a,b entiers

est intègre si (b² - 4ac) < 0

est n'est pas intègre si deg(P) > 2

est n'est pas intègre si deg(P) > 1



merci

[invite35452583]

Bonjour,
oui pour les 3 derniers mais pour le premier attention : si a et b ne sont pas premiers entre eux alors le quotient n'est pas intègre (contre-ex : 2x(X+1)=0 dans Z[X]/(2X+2) mais ni 2 ni X+1 ne sont nuls dans le quotient, en fait 2X+2 n'est pas irréductible dans Z[X] ; ne pas oublier que Z n'est pas un corps et donc il existe des polynômes de degré 0 non irréductible)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Re,
par contre l'irréductibilité n'est pas suffisante.
Contre-exemple :
A=Z[i] est un anneau intègre, le polynôme de degré 0 : 2 est irréductible.
En effet, intégrité de A=>deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q)=>P.Q degré 0=>deg(P)=deg(Q)=0
Soient deux éléments de A z et z' (d°=0) tels que z.z'=2
on a (l l : module) lzl².lz'l²=4.
Or, il n'existe pas d'éléments de A dont le carré du module soit égal à 2 (pas de solutions entières à x²+3y²=2 ; x²+3y² est le carré du module de )
Donc lzl² ou lz'l²=4 et par incidence lzl² ou lz'l²=1 i.e. z ou z'=+/- 1 et l'autre =(+/-1)x2
OUF
2 est irréductible mais A/(2) n'est pas intègre :


En fait, il faut déjà que le résultat soit vrai pour A lui-même avant de l'être pour A[X]. (en tout cas pour A intègre)
Le résultat est néanmoins juste pour A corps ou A=Z (je ne suis même plus sûr que A factoriel soit suffisant).

[Bleyblue]

ne pas oublier que Z n'est pas un corps et donc il existe des polynômes de degré 0 non irréductible)

Oui je m'en suis souvenu hier soir à minuit passé dans ma chambre à coucher, j'ai sursauter dans mon lit en repensant à ça (ces anneaux quotients vont me rendre fou )

merci

[Bleyblue]

Re,
par contre l'irréductibilité n'est pas suffisante.
Contre-exemple :
A=Z[i] est un anneau intègre, le polynôme de degré 0 : 2 est irréductible.
En effet, intégrité de A=>deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q)=>P.Q degré 0=>deg(P)=deg(Q)=0
Soient deux éléments de A z et z' (d°=0) tels que z.z'=2
on a (l l : module) lzl².lz'l²=4.
Or, il n'existe pas d'éléments de A dont le carré du module soit égal à 2 (pas de solutions entières à x²+3y²=2 ; x²+3y² est le carré du module de )
Donc lzl² ou lz'l²=4 et par incidence lzl² ou lz'l²=1 i.e. z ou z'=+/- 1 et l'autre =(+/-1)x2
OUF
2 est irréductible mais A/(2) n'est pas intègre :

Aïe, c'est horrible, je n'aurais jamais pensé à un cas pareil

Enfin bon, merci bien !

[Bleyblue]

Le résultat est néanmoins juste pour A corps

Et dans ce cas la A[X]/P.A[X] est aussi un corps je pense ...

merci

[invite35452583]

Aïe, c'est horrible, je n'aurais jamais pensé à un cas pareil

Ca ne doit pas t'affoler pour ton examen je ne pense pas que l'étude de tels anneaux ait été poussé (voir même abordé) à ton niveau.

Et dans ce cas la A[X]/P.A[X] est aussi un corps je pense ...

Oui

Après vérification, le résultat est vrai pour A factoriel (je doutais à un moment suite à une confusion avec la pérennité du caractère principal)
factoriel : tout élément a une décomposition en facteurs irréductibles de surcroît unique modulo produit par des inversibles.
1ers exemples : Z, les corps k
Propriété : si a est factoriel alors A[X] l'est aussi
Ainsi, Z[X], Z[X1,X2], k[X1,.....,Xn] sont factoriels
Je pense que cela suffit plus que largement à ton niveau (on ne peut pas apprendre tout d'un coup).

[Bleyblue]

Oui nous avons vu les anneaux factoriels au cours mais je ne savais pas que ça intervenait ici

En tout cas merci bien à toi et à tous les autre pour votre aide, je vois dois beaucoup, une fois de plus

[Gwyddon]

Et voilà, évidemment mon souvenir n'était pas frais

J'avais oublié que ce n'était vrai que pour les anneaux principaux (or principal impliquant factoriel il me semble...)


EDIT : je rectifie mon dernier message :"J'avais oublié que je ne l'avais vu que pour les anneaux factoriels" . Désolé pour cette coquille.

[Bleyblue]

Principal implique factoriel ?

J'ai ouvert mon cours d'algèbre au hasard et au beau milieu de la page je vois :

"Théorème : Tout anneau principal est factoriel"

Donc oui

merci !