Domaines - Problème de notation
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 19 sur 19

Domaines - Problème de notation



  1. #1
    Lévesque

    Domaines - Problème de notation


    ------

    Bonjour,

    depuis quelques jours, j'ai rencontré quelques , ou et même, parfois l'indice sur L était en bas.

    Il s'agit de domaines, ça j'ai bien vu . Mais, je crois que mon livre est trop avancé pour expliquer ce que sont ces domaines, la logique de la notation, etc.

    Quelqu'un pourrait-il me donner quelques mots clés pour que je puisse googliser mon questionnement?

    Merci!

    Simon

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : Domaines - Problème de notation

    Salut,

    Soit : est l'espace des fonctions p-intégrables sur l'espace mesuré .
    Si , ça veut dire que la norme Lp de f existe:
    .

    Si , c'est que la fonction est essentiellement bornée: ( est quasiment la norme de la convergence uniforme).

    Lorsque est la mesure de Lebesgue, ce qui est au courant, on omet la précision de la mesure.

    Si la mesure est discrète (mesure de dénombrement par exemple), on écrit à la place de .

    Enfin, je ne crois pas que la position de l'indice joue un rôle.

    Cordialement.

    http://mathworld.wolfram.com/Lp-Space.html
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  3. #3
    matthias

    Re : Domaines - Problème de notation

    "domaine" ça a un sens précis en français ?
    Parce qu'il me semble qu'en anglais ça signifie soit anneau intègre soit ouvert connexe.

  4. #4
    martini_bird

    Re : Domaines - Problème de notation

    Citation Envoyé par matthias
    "domaine" ça a un sens précis en français ?
    Parce qu'il me semble qu'en anglais ça signifie soit anneau intègre soit ouvert connexe.
    Salut,

    j'ai trouvé ça.

    Cordialement.

    EDIT: visiblement, cette définition confond connexité et connexité par arcs!
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    A1

    Re : Domaines - Problème de notation

    Salut M_B !
    Vous parlez de fonctions p-intégrables , avec p un réel >= 1 ? Je ne pige rien là ! p devrait être un entier à ce que je connais .
    Voudriez vous m'éclaircir un peu , autant sur ce point que sur la structure d'un espace mesuré .

    Merci .

    ____________________
    A1

  7. #6
    martini_bird

    Re : Domaines - Problème de notation

    Salut,

    c'est la définition que j'ai donnée: f est p-intégrable (c'est un anglicisme, je ne sais pas si c'est très usité) si l'intégrale existe (=est finie).

    Un espace mesurable est un espace muni d'une -algèbre. Lorsque l'on dispose de plus d'une mesure sur cette -algèbre, on dit que l'espace est mesuré.

    Plus d'infos dans la bibliothèque, item "théorie de la mesure".

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  8. #7
    Lévesque

    Re : Domaines - Problème de notation

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,[...]
    Cordialement


    Merci!!! T'es très gentil!

    Simon

  9. #8
    invite6b1e2c2e

    Re : Domaines - Problème de notation

    Salut,

    Pour compléter l'information du site de Martini_Bird :
    En analyse, un domaine est souvent un ouvert connexe. Et, je le rappelle, pour un ouvert, connexe = connexe par arcs. Ca vient du fait que les classes d'équivalence induites par la relation "être atteignable par un chemin" sont ouvertes.

    __
    rvz

  10. #9
    martini_bird

    Re : Domaines - Problème de notation

    Citation Envoyé par rvz
    pour un ouvert, connexe = connexe par arcs.
    Ah ben oui...
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #10
    Lévesque

    Re : Domaines - Problème de notation

    Bonjour!

    J'aime le forum de Math!

    J'aurais besoin de quelques petites autres précisions si possible. Disons, en gros, j'essaie de comprendre comment trouver l'espace des fonctions (c'est ça? c'est pas domaine comme le dit mon titre?) une fois que la fonction est donnée. Par exemple,

    .

    Dans mon Reed & Simon IV, on perturbe un opérateur (hamiltonien) en ajoutant le potentiel V. Les auteurs mentionnent "V on ".

    Je me demande: c'est une exigence de leur part, ou bien c'est seulement évident que V est défini sur cet espace de fonction?

    Si c'est évident, quelqu'un peu m'allumer?

    Salutations,

    Simon

    PS: Finalement, les cours de math c'est plus utile que je pensais en physique!
    Dernière modification par Lévesque ; 23/02/2006 à 15h17.

  12. #11
    Lévesque

    Re : Domaines - Problème de notation

    Pour le , j'ai une bonne idée. Mais, 2 fois différentiable (par rapport à quelle variable)? Moi, je pourrais dériver ça bien plus que deux fois!

  13. #12
    invite6b1e2c2e

    Re : Domaines - Problème de notation

    En fait, sur R^3, V est intégrable au voisinage de zéro, et même un peu mieux (cf le changement de variable coordonnées polaires) Problème : Ce potentiel ne l'est pas en + infini.
    Alors, je ne sais pas ce qu'ils font, mais si c'est ce que je crois, ils donnent un sens dans le cadre de la théorie des distributions à une équation aux dérivées partielles, et ils n'ont donc besoin que du fait que V est dans un L^1 loc(R^3), c'est à dire L^1 sur tout compact de R^3, ce qui est le cas ici.

    __
    rvz

  14. #13
    Lévesque

    Re : Domaines - Problème de notation

    Citation Envoyé par rvz
    je ne sais pas ce qu'ils font
    En fait, ils énoncent un critère pour qu'une série donnée converge. Le critère demande à ce qu'on compare le domaine de définition de deux opérateurs: T qui n'est pas perturbé et V qui le perturbe:



    On trouve la résolvante, l'exprime en série, et Kato nous sort un beau théorème pour vérifier que la série de la résolvante converge, puis un critère pour appliquer ce théorème. Entre autre, il faut que

    .(1)

    Fin de la mise en situation. Alors, R&S considèrent un T, lui ajoute un V. Moi, je veux vérifier que le critère (1) est respecté. Mais je me demande: si R&S ne me disent pas quel est , je le trouve comment?

    Est-ce que je mélange D (domaine) et L (espace)?

    Merci!

    Simon

  15. #14
    Lévesque

    Re : Domaines - Problème de notation

    Citation Envoyé par Lévesque
    2 fois différentiable


    Je suis dans les patates...

    Corrolaire 2.7 Remplaçons différentiable par intégrable, oublions ce message et réfléchissons sérieusement (de moi à moi).

    Simon

  16. #15
    Lévesque

    Re : Domaines - Problème de notation

    Citation Envoyé par martini_bird
    : est l'espace des fonctions p-intégrables sur l'espace mesuré .
    Si , ça veut dire que la norme Lp de f existe:
    .
    Si je n'ai jamais fait de théorie de la mesure, je devrais comprendre?

    Je fouille dans mes livres (je vois Rudin sur mon bureau... Hein!? Ya un chapitre intitulé : L^p spaces!!! hourra!) mais si vous pouvez détailler un peut en 2-3 lignes:

    - espace mesuré?
    - dans , et jouent quels rôles?

    Répondez seulement si vous avez du plaisir à m'expliquer. Je fouille de mon côté.

    Simon

  17. #16
    invite6b1e2c2e

    Re : Domaines - Problème de notation

    OK, ça y est, j'ai compris pourquoi tu parlais de domaine.
    Le domaine d'un opérateur H, c'est l'ensemble des fonctions f tels que Hf est dans L^2.
    Ici, je crois que d V représente un opérateur de convolution. Comme V est dans L^2(R^6), la convolution envoie L^infini(R^3) dans L^2(R^3) (enfin je crois, cf l'inégalité de Young).
    Je ne sais pas ce que c'est T, mais si c'est un laplacien, son domaine, c'est H^2(R^3) et H^2(R^3) doit s'injecter dans L^infini (injection de sobolev), donc, c'est ok. C'est ça ?

    __
    rvz

  18. #17
    Lévesque

    Re : Domaines - Problème de notation

    Citation Envoyé par rvz
    OK, ça y est, j'ai compris pourquoi tu parlais de domaine.
    Le domaine d'un opérateur H, c'est l'ensemble des fonctions f tels que Hf est dans L^2.
    Tout opérateur a un domaine de définition tel que Hf est dans L^2 ?

    Ici, je crois que d V représente un opérateur de convolution.
    ouf! c'est loin pour moi la convolution...
    Comme V est dans L^2(R^6), la convolution envoie L^infini(R^3) dans L^2(R^3) (enfin je crois, cf l'inégalité de Young). Je ne sais pas ce que c'est T, mais si c'est un laplacien, son domaine, c'est H^2(R^3) et H^2(R^3) doit s'injecter dans L^infini (injection de sobolev), donc, c'est ok. C'est ça ?
    Je m'excuse, mais tu me perds un peu...

    T est un opérateur fermé qui a des valeurs propres (+ il est hermitien). En fait, il s'agit d'un hamiltonien! V est aussi un opérateur hermitien.

    Le domaine d'application de est , celui de V est et celui de est .

    Le critère dit, pour et connus, tu pourras appliquer tout ce qu'on dit dans mon livre si

    1.
    2. Pour des constantes quelconques a et b et pour tout ,

    .

    Tout ça, c'est dans Kato, Perturbation theory.... Ensuite, je vais dans R&S, qui donne des exemples. Entre autre, celui discuté ici, où il nous dit explicitement "V on " et "T on ".

    Le but de ma dernière question était de clarifier la vérification de (1).

  19. #18
    invite6b1e2c2e

    Re : Domaines - Problème de notation

    Juste pour une petite réponse rapide : Je suis désolé, mais demain je pars en voyage alors j'ai pas trop le temps.

    Quand tu as un opérateur A : E -> F qui est non borné, alors il existe un plus grand sous espace vectoriel e de E tel que A est bien défini sur e. Ici, comme dans la plupart des cas physiques, il est naturel de prendre F = L^2. Remarque bien que si ton opérateur est le laplacien, alors, il est défini pour toutes les distributions. Et c'est le cas de tous les opérateurs différentiels. Du coup, si tu veux normaliser les choses, tu prends son domaine sur L^2, qui a le bon goût d'être un hilbert.

    __
    rvz

  20. #19
    Lévesque

    Re : Domaines - Problème de notation

    Merci pour tout, toutes les infos que tu m'as donnés m'ont étés utiles!

    À bientôt,

    Simon

Discussions similaires

  1. Petit problème de notation
    Par invitee10e163d dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 27/10/2007, 09h34
  2. Problème de notation dans un exercice
    Par herman dans le forum Physique
    Réponses: 2
    Dernier message: 14/10/2007, 18h16
  3. problème avec la notation différentielle
    Par hterrolle dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 24
    Dernier message: 14/06/2007, 07h28
  4. problème de notation
    Par inviteac3c9c59 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 12/06/2006, 23h38
  5. problème de notation
    Par invite0f0e1321 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 08/01/2006, 11h27