"Quadrature" du cercle

[breukin]

Les guillemets ont leur importance, puisque le mot ne doit pas être compris dans son sens habituel.
Il s'agit ici de reconstituer un carré en découpant un cercle.
Il a été démontré que c'était possible, le nombre de morceaux étant de l'ordre de 10⁵⁰.
Quelqu'un a-t-il une idée de la démonstration ? J'imagine qu'elle n'est pas constructive, car les forêts de la planète ne suffiraient pas, et de loin, à produire le papier pour y décrire les coordonnées des points de découpe, pas plus que l'âge de l'Univers.
-----

[invite986312212]

je pense que ce n'est pas possible. En effet, si le cercle pouvait être découpé en un nombre fini de morceaux, l'un au moins de ces morceaux devrait être infini non dénombrable. Maintenant, (un tranlaté "rotaté" de) ce morceau doit être une partie du carré. Il peut s'étendre sur les quatre côtés du carré, mais au moins l'un des côtés doit contenir une infinité non dénombrable de points issus du cercle, et donc au moins trois. Or trois points du cercle ne sont jamais alignés, d'où la contradiction.

[invited1f3f9bf]

Bonjour ,

====> http://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrature_du_cercle
Quadrature du cercle

La quadrature du cercle est un problème classique de mathématiques apparaissant en géométrie. Il fait partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la trisection de l'angle et la duplication du cube. Dans le plus ancien texte mathématique retrouvé, le Papyrus Rhind (~1650 av. J.-C.), le scribe Ahmès proposait déjà une solution approchée du problème. Le premier scientifique grec à s'intéresser à la question a été Anaxagore de Clazomènes.

Le problème est de construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas (voir nombre constructible). Il remonte à l'invention de la géométrie et a occupé de nombreux mathématiciens au cours des siècles. Grégoire de Saint-Vincent était passionné par le problème: il écrivit un ouvrage de 1000 pages estimant - erronément - l'avoir résolu. C'est en 1837 que Pierre-Laurent Wantzel démontre un théorème qui permet d'exhiber la forme des équations des problèmes impossibles à résoudre à la règle et au compas. Mais il faudra attendre jusqu'en 1882 pour que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre la transcendance de π pour appliquer le théorème de Wantzel au problème de la quadrature du cercle et ainsi démontrer qu'elle était impossible à réaliser. L'Académie des sciences, qui avait déjà pressenti ce résultat un siècle auparavant, n'acceptait plus de « preuve » de cette quadrature depuis 1775.

Une solution de quadrature demande la construction de la racine carrée de π, \sqrt{\pi}, ce qui est impossible en raison de la transcendance de π : en effet seuls certains nombres algébriques (les rationnels et les irrationnels quadratiques) peuvent être construits à l'aide d'une règle et d'un compas.

Ce problème est resté populaire et de nombreux quadrateurs amateurs envoient encore aujourd'hui de fausses preuves aux académies scientifiques.

Cependant :

Si on prend une machine à érosion à fil par exemple, précise au micron.

Je programme un cercle au dessus, et un carré ou un rectangle en bas, on est en surfaces réglées donc la distance cercle/rectangle ou carré est connue ou je l'impose, cela passe sans problème. J'ai bien sur appliqué X = racine de Pi x R, la surface en bas est égale à la surface au dessus, bizarre non ?

Les problèmes de Quadrature sont nombreux.

[invited1f3f9bf]

RE-

Je viens de vérifier sur le Net :

Pour la quadrature du cercle, il existe des liens :

==> http://science-univers.qc.ca/divers/quadrature.html
==> http://www.dakhi.com/somfr4.php ....etc....

Ces liens sont nombreux et intéressants, la Quadrature peu touchée beaucoup de fonctions également, et non seulement le cercle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

==> http://www.dakhi.com/somfr4.php ....etc....

Un site à mettre dans science ludique, on y trouve un résumé très pertinent de la démonstration du grand théorème de Fermat par Wiles : "J'ai eu la chance d'assister à une conférence à ce sujet à l'université Laval. Ce que j'ai retenu c'est qu'Andrew Wiles a utilisé une ellipse pour faire sa démonstration."

[breukin]

Vous ne savez donc pas lire (sauf ambrosio) !
La première phrase de mon post consite à dire que les guillemets ont de l'importance, car il ne s'agit pas de la quadrature du cercle dans son acception classique, mais d'un autre problème, celui du puzzle cercle-carré.

La référence est sur MathWorld d'Eric Weisstein :
http://mathworld.wolfram.com/Dissection.html

Laczkovich (1988) proved that the circle can be squared in a finite number of dissections (10⁵⁰). Furthermore, any shape whose boundary is composed of smoothly curving pieces can be dissected into a square.

[invite986312212]

ah oui, je viens d'aller voir cette page:
http://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%...uaring_problem
mais il s'agit du Disque et non du cercle. Grosse différence...

[invitebe0cd90e]

J'ajouterai (sans avoir helas la reference sous la main) que l'impossibilité de la quadrature du cercle se comprend dans le cadre precis de la construction a la regle et au compas, et uniquement dans ce cadre la. en s'autorisant des opérations plus exotiques (genre pliage du papier, me semble t il) on peut realiser la quadrature du cercle.

[invitebe0cd90e]

Notes qu'en scientifique serieux, weisstein donne ses sources :

apres une petite recherche, le resumé de l'article ne mentionne pas ce resultat.. vu que ca date de 88 ca me semble dur de le trouver en ligne, mais contacte ta BU, tu dois pouvoir demander une photocopie de l'article, si ca coute des sous passe par un de tes profs pour le faire, je suis sur qu'ils seront ravis !!! ceci suppose que tu sois a la fac, bien sur...

MR0970909 (89m:26004)
Laczkovich, M.(H-EOTVO-AN)
von Neumann's paradox with translations.
Fund. Math. 131 (1988), no. 1, 1--12.
26A16
PDF Doc Del Clipboard Journal Article Make Link

The author proves the following striking theorem: Let $I$ and $J$ be intervals with $|I|<|J|<2|I|$; then there exist partitions $I= \bigcup_1^4 A_i$, $J=\bigcup_1^4 B_i$ and mappings $f_i\:I\to J$ such that $f_i(A_i)=B_i\quad(i=1,\cdots, 4)$, where $f_1$ is a strictly increasing contraction and $f_2$, $f_3$, $f_4$ are translations. (A contraction is a Lipschitz function with constant less than one.) The upper bound on $|J|$ is sharp, even if more translated parts are allowed. By interposing a slightly longer interval $J'$ it follows that the $f_i$ may all be taken to be bijective contractions. This shows that von Neumann's paradox can be realized using only four pieces. An independent proof of this fact, based directly on \n R. M. Robinson's\en paradoxical decomposition of the sphere, is also given. The proof of the main theorem is based on properties of freely generated groups of linear fractional transformations. An upper estimate is obtained for the inner Lebesgue measure of the image in $\bold R^n$ of a sequence of disjoint subsets of $\bold R^n$ by a mapping that satisfies a Lipschitz condition on each of the sets. This is used to show that von Neumann's paradox cannot be realized by a partition into only two pieces, and that four pieces can be used only if $|J|<2|I|$. Whether three pieces suffice remains an open question.

[breukin]

Je sais que c'est une mode de vouloir distinguer, mais tout le monde se comprend quand on parle de la surface d'un cercle, puisque les gens bien-intentionnés pensent immédiatement à π.r² et non à 0.
La rigueur mathématique ne dispense pas de l'intelligence contextuelle.
D'ailleurs sur la page Wikipedia indiquée, il est dit "Tarski's circle-squaring problem" et non "Tarski's disk-squaring problem". Et puis pour les autres contours fermés, possède-t-on des mots spécifiques pour distinguer le contour lui-même de son intérieur ? La surface d'un "carré", c'est quoi, a² ou 0 ? Le périmètre d'un "carré", c'est 4a ou c'est un non-sens ? Pareil pour le volume et la surface de la "sphère" : qui parle de "boule" ?

Dans la page de Wikipedia, je note une information intéressante : cette dissection n'est pas possible en termes de morceaux découpables aux ciseaux. Les morceaux ne sont pas mesurables, information non mentionnée sur Mathworld, qui laissait entendre un puzzle classique, par analogie avec les nombreux exemples de polygones donnés.

De ce fait, le théorème perd de son caractère extraordinaire, je trouve.

[invite986312212]

ok mais t'as pas parlé de la surface, t'as parlé de découper un cercle pour en faire un carré. Sinon, que les morceaux soient non (Borel-)mesurables, on pouvait le deviner.
Par contre, il me semble me souvenir qu'il faut aller jusqu'à la dimension 3 pour voir apparaître le phénomène bizarre qu'on peut découper une sphère en un nombre fini de morceaux (en fait 3) et les réassembler pour obtenir une autre sphère mais d'un autre diamètre. Ca ne doit pas marcher pour le disque, et le carré doit être de même aire que le disque (si mes souvenirs sont bons).

[Médiat]

La rigueur mathématique ne dispense pas de l'intelligence contextuelle.

Ni du respect de ses interlocuteurs.

[invited1f3f9bf]

Bonsoir,

Médiat, je suis entièrement d'accord avec toi, cela frise l'impolitesse, l'insolence, à moins du multipostage ou autre, dans la même rubrique, mais il ne fallait pas annoncer cela comme cela, et les cocotes en papier, même ingénieur ENSI, je m'amuse à trouver des solutions, le carré est dans le carré, 16, 20 fois, il n'y a pas de limite sauf si on fixe cette limite....Le cercle idem, les autres fonctions idem.

Tu fais les questions et les réponses, je ne vois pas l'objet de ce Post au final.

Salutations.

[invitec053041c]

Pareil pour le volume et la surface de la "sphère" : qui parle de "boule" ?

Euh...moi, et je ne suis pas le seul ici (loin de là).

[breukin]

Je suis désolé si j'ai été un peu sec et si j'ai pu heurter. Au demeurant, moi-même j'ai été quelque peu heurté par la réflexion qui a suscité cette phrase.

Car ayant affirmé "ceci a été démontré..." et qu'il apparaît évident qu'une circonférence circulaire ne peut être découpée en un nombre fini de morceaux pour constituer un périmètre carré, c'est donc nécessairement que le mot cercle devait être pris dans son autre acception du langage courant.

Ce rappel à la différence cercle/disque m'a sincèrement apparu désobligeant, voire vexatoire. D'où ma réaction appelant à mieux apprécier un contexte.

Par ailleurs, pour Ledescat :

Si tu connais sa mase volumique et son rayon, connaissant la formule du volume d'une sphère ça vient tout seul.

in http://forums.futura-sciences.com/sh...ad.php?t=44242
Personnellement, ça ne me choque pas, parce que c'est du langage courant, et tout le monde se comprend, il n'y a pas d'ambiguïté sur ce dont on parle, ce qui me paraît le plus important en science comme dans tout autre sujet d'ailleurs.
J'aurais trouvé ridicule et déplacé que quelqu'un vienne vous rappeler à l'ordre pour vous dire qu'il n'y a aucune relation entre la masse volumique et le volume de la sphère puisque ce dernier est nul.

[invite986312212]

je dois avouer que j'ai fait preuve de mauvaise foi: je me doutais qu'il s'agissait du disque (et c'est vrai que c'est évident pour le cercle et le (bord du) carré).

Pour essayer de répondre à ton interrogation concernant le nombre de morceaux (10^50), je ne trouve par l'article de Laczkovich (et je ne sais pas si je saurais le comprendre) mais je me doute que cette borne n'est pas vraiment optimale. Il a probablement voulu montrer qu'on pouvait découper les deux figures en un nombre fini de morceaux congruents. Je ne serais pas surpris si le nombre effectif de morceaux était de 3 ou 4.

[danyvio]

ok mais t'as pas parlé de la surface, t'as parlé de découper un cercle pour en faire un carré. Sinon, que les morceaux soient non (Borel-)mesurables, on pouvait le deviner.
Par contre, il me semble me souvenir qu'il faut aller jusqu'à la dimension 3 pour voir apparaître le phénomène bizarre qu'on peut découper une sphère en un nombre fini de morceaux (en fait 3) et les réassembler pour obtenir une autre sphère mais d'un autre diamètre. Ca ne doit pas marcher pour le disque, et le carré doit être de même aire que le disque (si mes souvenirs sont bons).

Effectivement la découpe de la sphère en un nombre finis de morceaux pour en reconstituer deux autres de même diamètre a été prouvée (dans des termes qui dépassent mes compétences ) sous le nom de paradoxe de Banach-Tarski On utilisait l'axiome du choix....

[invite986312212]

ce n'est pas si compliqué que ça:
http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1...AReissman.html

[invited1f3f9bf]

Bonjour,

Tout retombe dans l'ordre, un passage à sec, bon on va pas en faire un plat, tous autant que nous sommes que de simple disciple, on a appris des choses dingues.

Puis cette suite de Post commence à m'intéresser, je vais faire des recherches également, j'ai été voir l'article que tu as nommé, cela est interessant, n'oublies jamais que en Mathématiques, rien n'est défini à l'avance, si on considère un ensemble de base, d'accord, mais si on va à des ensembles, les lois ne se ressemblent plus, la Physique est dépendante des Mathématiques, ce qui est démontrable dans les 2 parties, pour ne citer qu'un exemple, c'est l'éloignement Terre-Lune qui augmente, pas de beaucoup...

J'imagine, qu'il faut rester résonnable, ne pas partir sur une moyenne, mais des limites inf ou sup.

Quant à la Quadrature , il y a eu tellement de débordement, je ne sais si celui si a raison ou pas, les morceaux envisageables, carré, sphère, parabole...c'est infini, vu que tout cela possède un sens "Mathématiques".

A bientôt !

[invite35452583]

ce n'est pas si compliqué que ça:
http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1...AReissman.html

En effet, c'est moins compliqué que l'on ne sous-entend généralement. Merci pour le lien, je me coucherai moins inculte ce soir.

Sinon, quelqu'un a un lien vers la preuve de l'existence d'une mesure de banch pour la droite et le plan ?

Et, la question peut paraître idiote, mais en quoi le découpage du disque pour reconstituer un carré est impossible avec des parties Lebesgue-mesurables (je ne conteste pas le résultat, j'ai bien compris qu'il a été prouvé, mais là sur le coup je ne vois pas pourquoi) ?

[invite35452583]

Bon alors j'ai trouvé quelques documents :
Le paradoxe de Banach-Tarsky (traite en seconde partie la mesure de Banach)
aires et volumes : découpage et recollements (plus pédagogique, quoiqu'assez voisin du 1er, j'ai l'impression que j. Muller est élève de Perrin)
MESURES FINIMENT ADDITIVES ET PARADOXES (plus complet sur les questions ouvertes actuelles, s'il y a des amateurs )
En résumé :
sur la question de la mesure de Banach sur la droite ou le plan, il y en a plusieurs, toutes coïncident sur les parties Riemann-intégrables, au moins une prolonge la mesure de Lebesgue, mais il y en a d'autres pour lesquelles m(ensemble maigre)=1 (il y en a même une si j'ai bien compris qui vaut 1 pour tous les ensembles maigres ). Les preuves de l'existence de ces mesures de Banach utilisent elle-aussi l'axiome du choix, la preuve la plus diffusée est celle de Von-Neumann qui montre que plus une propriété des espaces considérés c'est une propriété des groupes qui opérent. Ainsi, il eiste une mesure de Banach sur Rⁿ (n quelconque) si on exige seulement l'invariance par translations (au lieu de toutes les isométries), il n'existe pas de mesure de Banach sur R² si on considère le groupe SL(2;R) (transformations linéaires préservant l'aire).
La preuve qui est donné se limite au cas où le groupe est Z (la preuve de l'existence n'est pas constructible mais basé sur un argulment de compaité compréhensible : intersection de fermés emboités non vides est non vide, classique) puis se contente de dire que cela s'étend aux groupes abéliens de type fini (ça ça semble accessible en effet) puis par un argument de compacité (de {0,1}^G, muni de la topologie produit) à G abélien quelconque (ça il semble que ce soit beaucoup plus délicat).
Sur la question de dédoublement, le 3ème document montre en gros (alternative de Tarski) que pour tout ensemble E sur lequel agit un groupe quelconque G et toute partie X de E
soit on a une mesure de Banach sur E (Ginvariante) telle que m(X)=1
soit l'ensemble E est "paradoxal" (il existe une partition de X=A U B, pour toute partie X de E, telle que X soit équidécomposables avec A et avec B).
Au fait, il a été prouvé vers 1990 ceci pour m>=3,
le "Paradoxe" de Dougherty-Foreman. Si A et B sont des ensembles ouverts bornés non vides de Rm alors il existe des ensembles ouverts A1,...,An deux
à deux disjoints, contenus dans A, et des ensembles ouverts B1,...,Bn deux a deux disjoints, contenus dans B, se déduisant les uns des autres par isometrie (A1 avec B1, A2 avec B2, etc) tels que A et B soient contenus respectivement dans l'adhérence de l'union des Ai et dans l'adhérence de l'union des Bi.
C'est un classique qu'il existe des ouverts denses de mesure (ici, la notion de mesure ne s'efface pas car ce sont des ouverts) aussi petite que l'on veut dans Rⁿ mais de là à recomposer par des isométries, c'est fort. A remarquer que ce résultat n'utilise pas l'axiome du choix.

Pour la question de la quadrature du cercle, il faut beaucoup de morceaux (10⁵⁰ semble être l'ordre de grandeur du nombre minimal de morceaux nécessaires), le seul indice sur la construction est que la méthode de Laczkovich utilise des suites de faible discrépance (nous voilà bien avec ça ). Le résultat est vrai pour les convexes et les intérieurs des courbes de Jordan rectifiables. Mais, Laczkovich a aussi montré que le cercle et l'intérieur d'une certaine courbe, C infini partout sauf en un point, ne sont pas équidécomposables.
Et pour finir, il semblearit que la question de savoir si les morceaux sont Lebesgue-mesurables n'est pas tranchée.

C'est un joli domaine des mathématiques, , que je ne connaissais que très peu, c'est rare un sujet pour lequel les résultats sont globalement compréhensibles mais surprenants* dont la preuve de certains résultats sont accessibles (certes avec un certain niveau en mathématiques mais en restant dans du classique), merci à Breukin et à Ambrosio de me l'avoir fait découvert.

* : pour ma part l'existence des mesures de Banach reste plus surprenant que le paradoxe de Banach-Tarski mais bon comme l'introduit un texte, les paradoxes c'est subjectif et donc dépend de chacun-chacune.

[invited1f3f9bf]

Bonsoir à tous !

Bel article en effet qui rassemble beaucoup de choses.

Je vais prendre le temps, demain de tout revoir. Bien vu.

@+, Dom.

[samuelD915]

bonjour voila ce que j'ai trouvé :
fs102.PNG
fs103.PNG
fs101.jpg

[jiherve]

Bonjour et bienvenue.
le syndrome de l'arrivant a encore frappé !
15 ans de déterrage on frise le record!
JR

[albanxiii]

Pour raconter n'importe quoi en plus. On aurait pu s'épargner cette peine (PITA comme disent les anglo-saxons).