Sommes et séries exponentielle

[invitee60af3c1]

salut les Matheux !

J'vous explique, je doit calculer la somme de la série de terme general : cos(n2x)/(2n)! donc de n = 0 à +oo

Au premier abord je me suis dit : dire que la partie réelle de Exp(ix) c'est le cos...ok
Mais en passant a cet écriture, j'ai une forme de serie exponentielle qui me donnerai Exp(exp(ix))..
Mais comme mes terme sont en 2n, cette série de prend que en compte les termes pairs, ais-je le droit de dire que c'est la série exponentielle ?

Merci de votre aide.
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[invite35452583]

Au premier abord je me suis dit : dire que la partie réelle de Exp(ix) c'est le cos...ok
Mais en passant a cet écriture, j'ai une forme de serie exponentielle qui me donnerai Exp(exp(ix))..
Mais comme mes terme sont en 2n, cette série de prend que en compte les termes pairs, ais-je le droit de dire que c'est la série exponentielle ?

moi je me dirais plutôt que comme il n'y a que les termes pairs ce n'est donc pas l'exponentielle de e^ix.

Sinon, montrer proprement que la série est bien définie, continue et deux fois dérivable. Ensuite constater qu'elle est solution de l'équation y"=-y ce qui ne laisse que deux paramètres à ajuster dont un l'est par le fait que cette fonction est paire, l'autre en calculant la valeur pour x=0.

[indian58]

salut les Matheux !

J'vous explique, je doit calculer la somme de la série de terme general : cos(n2x)/(2n)! donc de n = 0 à +oo

Au premier abord je me suis dit : dire que la partie réelle de Exp(ix) c'est le cos...ok
Mais en passant a cet écriture, j'ai une forme de serie exponentielle qui me donnerai Exp(exp(ix))..
Mais comme mes terme sont en 2n, cette série de prend que en compte les termes pairs, ais-je le droit de dire que c'est la série exponentielle ?

Merci de votre aide.

Tu peux dire que c'est la partie réelle de Somme(exp(2inx)/(2n)!) mais ce n'est pas la série exponentielle (enfin a priori).

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Ce qu'a écrit Indian58 ressemble quand même fichtrement à un Re(cos(exp(ix))).
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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee60af3c1]

bien vu..j'ai meme pas vu la serie entière se profilée...
ça fait RE( cos(cosx + isinx)) ? le cosinus d'un complexe ? hein ????

[ericcc]

moi je me dirais plutôt que comme il n'y a que les termes pairs ce n'est donc pas l'exponentielle de e^ix.

Sinon, montrer proprement que la série est bien définie, continue et deux fois dérivable. Ensuite constater qu'elle est solution de l'équation y"=-y ce qui ne laisse que deux paramètres à ajuster dont un l'est par le fait que cette fonction est paire, l'autre en calculant la valeur pour x=0.

Tu peux expliquer ton calcul ? Parce que je ne trouve pas du tout y"=-y ???

[invitee60af3c1]

moi non plus , j'ai pas aboutit avec ça..

sinon pour le cosinus du complexe, avec des formule trigo, et des fcts hyperbolique j'essaie d'aboutir..

[ericcc]

C'est la bonne méthode je pense.
y=Cos(cos(x))cosh(sin(x)), non ?

[invite4ef352d8]

Salut !


la somme de z^(2n)/(2n)! vaut cosh(z), ou encore (exp(z)+exp(-z))/2 (qui est définit pour z complexe...)

si z=x+iy, alors si je me trompe pas cosh(z)=-sinh(x)cos(y)+i*cosh(x)*sin(y)

[invitee60af3c1]

ch(x+iy) = ch(x)cos(y) +ish(x)siny tout le monde est ok ?

J'ai pas le meme resultat que vous a la fin..

[invitee60af3c1]

j'trouve la partie reel egale a ch(cosx) * cos(sinx)

[invite4ef352d8]

euh oui je me suis trompé, j'ai dévelper un sinh(x+iy) moi...


tu as raison

[invite35452583]

Tu peux expliquer ton calcul ? Parce que je ne trouve pas du tout y"=-y ???

Euh... non, désolé erreur.

[invitee60af3c1]

Merci, merci, vous etes des anges.

[indian58]

Salut,

Ce qu'a écrit Indian58 ressemble quand même fichtrement à un Re(cos(exp(ix))).
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rvz

Non, les termes sont exp(2inx)/(2n)! ils manquent des termes!

[breukin]

Somme cos(2nz)/(2n)!
= 1/2 Somme (exp(2niz)+exp(–2niz))/(2n)!
= 1/2 Somme (exp(iz)²ⁿ+exp(–iz)²ⁿ)/(2n)!
= 1/2 (ch(exp(iz))+ch(exp(–iz)))
= ch((exp(iz)+exp(–iz))/2).ch((exp(iz)–exp(–iz))/2)
= ch(cos(z)).ch(i.sin(z))
= ch(cos(z)).cos(sin(z))

Sauf erreur