Salut, je buche en ce moment sur les séries entiéres et leurs applications sur les fonctions usuelles, en particulier la fonction exponentielle.
Dans mon cours on donne la définition suivante:
exp(x) = 1 + Σ(n=1 à infini) (1/n!)*x^n
Puis il est écrit que selon cette définition exp est sa propre dérivée.
Je sais depuis la terminale que e^x est sa propre dérivée, pourtant j´ai un problème avec la def. précédente:
Si je définis la somme partielle Sn(x) = 1 + Σ(k=1 à n) (1/k!)*x^k, en dérivant, j´obtient
Sn´(x) = Σ(k=1 à n) (1/(k-1)!)*x^(k-1) donc
Sn´(x) = 1 + Σ(k=1 à n-1) (1/k!)*x^k
Donc Sn(x) - Sn´(x) = (1/n!)*x^n
On peut écrire que exp(x) = limite quand n tend vers l´infini de Sn
Mais si exp est égale à sa dérivée, alors Sn(x) - Sn´(x) devrait tendre vers 0 quand n tend vers l´infini et cela POUT TOUT X, puisque cette suite entière a un rayon de convergence infini. Or (1/n!)*x^n ne tend pas nécessairement vers 0, par exemple quand x>= n
Me goure-je ou me confond-je?
christophe
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Envoyé par christophe_de_Berlin 