exponentielle et séries entières
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exponentielle et séries entières



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    exponentielle et séries entières


    ------

    Salut, je buche en ce moment sur les séries entiéres et leurs applications sur les fonctions usuelles, en particulier la fonction exponentielle.

    Dans mon cours on donne la définition suivante:

    exp(x) = 1 + Σ(n=1 à infini) (1/n!)*x^n

    Puis il est écrit que selon cette définition exp est sa propre dérivée.
    Je sais depuis la terminale que e^x est sa propre dérivée, pourtant j´ai un problème avec la def. précédente:

    Si je définis la somme partielle Sn(x) = 1 + Σ(k=1 à n) (1/k!)*x^k, en dérivant, j´obtient
    Sn´(x) = Σ(k=1 à n) (1/(k-1)!)*x^(k-1) donc
    Sn´(x) = 1 + Σ(k=1 à n-1) (1/k!)*x^k

    Donc Sn(x) - Sn´(x) = (1/n!)*x^n

    On peut écrire que exp(x) = limite quand n tend vers l´infini de Sn
    Mais si exp est égale à sa dérivée, alors Sn(x) - Sn´(x) devrait tendre vers 0 quand n tend vers l´infini et cela POUT TOUT X, puisque cette suite entière a un rayon de convergence infini. Or (1/n!)*x^n ne tend pas nécessairement vers 0, par exemple quand x>= n

    Me goure-je ou me confond-je?

    christophe

    -----

  2. #2
    invite6b1e2c2e

    Re : exponentielle et séries entières

    n tend vers l'infini. Donc, à x fixé, tu as peu de chance de pouvoir maintenir x>n.
    Du coup, tu peux m&#234;me voir que si |x|<R, alors, en fait, (1/n!) x^n converge uniform&#233;ment sur [-R,R] vers 0.

    __
    rvz

  3. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : exponentielle et séries entières

    Donc on a pour tout x: x^n < n! quand n tend vers l´infini?
    Ca ne me semble pas évident

  4. #4
    invite6b1e2c2e

    Re : exponentielle et séries entières

    En gros, &#224; chaque &#233;tape, tu multiplies par x/n.Donc, d&#232;s que n>x, la suite commence &#224; d&#233;croitre, puis d&#232;s que n>2x, tu divises par 2 &#224; chaque &#233;tape. Donc &#231;a va tendre vers 0, et m&#234;me tr&#232;s tr&#232;s vite en fait.

    __
    rvz

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite0f5c0a62

    Re : exponentielle et séries entières

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Donc on a pour tout x: x^n < n! quand n tend vers l´infini?
    Ca ne me semble pas évident
    rvz a raison quand n est grand, n ! dépasse pas mal de choses, pour t'en convaincre recherche également la "formule de stirling" (un truc genre n! ~= sqrt(2*pi*n)*(n/e)^n) et refait une démo ça te permettra de situer n!

  7. #6
    invite2ec8adb6

    Re : exponentielle et séries entières

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin
    Donc on a pour tout x: x^n < n! quand n tend vers l´infini?
    Ca ne me semble pas évident
    x est fixé et tu sais(par croissance comparée) que la limite de l'exponentielle sur de la factorielle est 0 a l'infini
    donc, pour n suffisament grand, tu as effectivement
    (x^n)/n!<1, i.e. x^n<n!

  8. #7
    christophe_de_Berlin

    Re : exponentielle et séries entières

    merci pour toutes les réponses, je vais voir

    christophe

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