Suite recurente

[invite9be7e31f]

Bonjour
j'ai un exercise de td que je n arrive pas a resoudre concernant le suite recurente .
Si quelqu'un pouvais m'aider
étudier les suites
U₀,V₀ appartenant a R*+/{0,0}
U_n+1=U_n/((V_n)²+(U_n)²)
V_n+1=V_n/((V_n)²+(V_n)²)

je ne sais pas comment partir je pensais distinguer si U₀ou V₀>1 mais ensuite je n'arrive a rien de meme losrque j'esseye de determiner leur sens dee variation je ddoit distinguer si (U_n)²+(V_n)²<1
si quelqu'un a une idéé je suis prenneur
deplus si quelqu'un connait des technique utile avec les suite de cette forme ... cela m'interresse aussi
Merci de votre aide .
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[invite9be7e31f]

il y a une petite erreur
Vn+1=Un/((Vn)²+(Un)²)
et non pas
Un/((Vn)²+(Vn)²)
desolé

[invite4ef352d8]

euh... tu es sur ? dans ce cas tu as Vn+1 = Un+1 ??

[invitea07f6506]

Regarde le rapport U(n+1)/V(n+1) (ou l'inverse si V0 es nul), puis distingue les cas n pair / n impair

Après, à ton niveau, je ne crois pas qu'il y ait une méthode générale pour résoudre ce genre de problème. Mais, comme astuce, c'est pas mal de chercher un invariant pas trop compliqué (Un*Vn, Un+Vn, etc.). Si le truc est plus subtil, a priori l'énoncé t'aidera.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9be7e31f]

lol encore une erreure dsl
Vn+1=Vn/((Un)²+(Vn)²)

[inviteaf1870ed]

La méthode de Garf est la plus directe : regarde Un/Vn. Cela te permet de trouver une relation de récurrence uniquement sur Un ou Vn.
Ensuite tu peux regarder Vn+2 en fonction de Vn.

[invite4ef352d8]

sinon on peut voir cela de facon assez géométrique.


SI tu considere le vecteur Xn=(Un,Vn)

alors Un²+Vn² = ||Xn||²

et on a Xn+1 = Xn/||Xn||²

en gros la direction du vecteur Xn est constante (c'est ce qu'on fait remarquer Garf et ericcc). et ca norme suis la relation de récurence ||Xn+1||=||Xn||/||Xn||²=1/||Xn||

donc elle va alterner entre deux valeur a et 1/a.