bonjour à tous,
J'ai trouvé un exercice assez ardu concernant les matrices sur un site de prépas.Le voici:
On donne les matrices A et B
-Montrer que les matrices A et B sont semblables: on cherchera une matrice P, inversible telle que PB=AP.
je n'ai aucune idée pour commencer cet exercice, que faut t'il poser pour parvenir à déterminer la matrice P?
Merci de m'aider.... Cordialement le fouineur
Salut,
Une méthode un peu bourrine théoriquement, c'est de remarquer que tes 2 matrices A et B ont même valeurs propres (1 de multiplicité 4) et que (A-I)^3 et (B-I)^3 sont non nuls, puis de terminer par le théorème de Jordan.
Si ce que je viens de dire te paraît relever de l'obscurantisme le plus profond, il va falloir se taper un calcul de changement de base, désolé.
Une méthode parmi tant d'autres. Tu appelles (e1,e2,e3,e4) et (f1,f2,f3,f4) les bases associées respectivement à A et à B. Alors l'existence d'un P revient à dire que A et B représente la même application linéaire dans 2 bases différentes.
Ainsi u(e1) = e1, u(f1) =f1, mais il se trouve que justement l'espace propre associé à 1 est de dimension 1, donc f1 = a e1.
Evidemment, celui-là, c'est le plus facile, je te laisse déterminer les autres
Hint : (u-I)^2 = 0 sur un sous espace vectoriel de dimension 2 dont tu connais la base.
__
rvz
Bonjour rvz et merci pour ta réponse rapide,
Si j'ai bien compris ton message précédent,il faudrait déterminer 8 bases:
e1,e2e3,e4 et f1,f2,f3,f4.Ne serait ce pas plutôt 8 vecteurs propres?
Pourrais-tu continuer un peu le calcul afin que je comprenne le
cheminement...Je ne vois pas non plus d'oû sort le a ?
Merci de me répondre Cordialement le fouineur
Salut,
Non, en fait il ne s'agit que de deux bases, que tu n'as pas besoin de déterminer. Juste tu dis que A représente une application linéaire u dans la base E = (e1,e2,e3,e4), et B la même application linéaire dans la base F=(f1,f2,f3,f4).
Le jeu consiste alors à trouver un lien entre les deux bases qui soit compatible avec l'application linéaire u.
Pour être plus précis,
u(e1) = e1 et u(f1) = f1, ça, tu le lis sur les matrices A et B.
Or, quand tu regardes u-Id, que ce soit dans la base E , (auquel cas la matrice correspond à A- Id) ou dans la base F (matrice = B-I), tu vois que le noyau est un espace vectoriel de dimension 1. Si tu préféres, l'espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1. Comme e1 et f1 sont dedans, ils sont forcément liés, d'où l'existence du a. En fait, on peut même normaliser les choses pour prendre a=1 (par exemple en regardant la base F/a = (f1/a,f2/a,f3/a,f4/a) qui est une autre base dans laquelle la matrive de u s'écrit B).
Donc on a e1 = f1.
Maintenant regardons f2, et essayons de l'exprimer dans la base E.
Que sait-on sur f2 ? Qu'il est dans le noyau de (B-Id)^2 = Ker ( (u-Id)^2).
Regardons donc de plus près Ker((u-Id)^2), mais plutot dans la base E. Cela revient à regarder la matrice (A-Id)^2, dont on voit facilement que le noyau est engendré par (e1,e2).
Donc f2 = a e2 + b e1.
Mais u(f2) = f2 + 2f1 (regarde la matrice B), et f1=e1, donc on doit avoir que
a u(e2) + b u(e1) = a e2 + b e1 + 2 e1, ce qui, en regardant la matrice A, est équivalent à
a e2 + (a+b) e1 = a e2 + (b+2) e1.
Cela implique que tu dois avoir a = 2. Et tu n'as pas de condition sur b, donc autant le prendre nul. Pose donc f2 = 2 e2, ce qui correspond à une matrice 2*2 = diag(1,2) qui t'envoie la matrice
1 1
0 1
sur la matrice
1 2
0 1
par similitude. (Fais le calcul si tu n'es pas convaincu).
Pour le reste, c'est du même tonneau, et vu le début, j'ai bien l'impression qu'une matrice diag(1,2,3,4) doit faire l'affaire (cela dit je n'ai pas fait les calculs, donc ce n'est qu'une intuition, hein).
__
rvz
Bonjour rvz, bonjour à tous,
Excuses moi pour cette réponse tardive,si j'ai mis tant de temps à te répondre,c' est que je me suis entiérement consacré à la résolution de l'exercice.Ce derier est résolu mais d'une manière artisanale.....
Je commence par construire une matrice P' de passage qui est néessairement diagonale, avec quatre inconnues notées a,b,c et d
Soit
alors
J'identifie les termes de mème indice de la première ligne des deux matrices en ignorant les termes constants:
je peux construire une nouvelle matrice P'' en consrvant les termes obtenus ci-dessus pour la deuxième ligne La troisième et la quatrième lignes seront copiées sur la deuxième et la troisième ligne de A*P'.
j'identifie maintenant les termes de la deuxièm ligne des deux matrices en ignorant toujours les termes constants:
Je peux reconstruire une nouvelle matriceP''' en suivant les indications précédement utilisées pour construire P''
Je m'arrète ici et je continuerai dans un second message.....
Suite du message précédent :
j'ai donc obtenu la dernière ligne de la matrice inconnue et voici la forme générale de l'expression de P:
On peut choisir librement la valeur des cefficients a,b,c et d
Par exemple prenons a=2 b=4 c=6 d=8
je vous laisse le soin de calculer P puis de vérifier que AP=PB
Ma méthode à le défaut d'être longue et fastidieuse mais par contre elle est simple à mettre en oeuvre.Je souhaiterai maintenant que quelqu'un m'écrive une autre méthode (avec des changements de bases),une méthode plus rigoureuse qui permette d'obtenir l'expression de P telle que je l'ai déterminée.
Merci d'avance pour vos réponses Cordialement le fouineur
