suite croissante et convergente

[invite4f4507a2]

bonjour

comment montrer qu'une suite est croissante et convergente quand elle est du genre
Un+2 = Racine (Un + Un+1) avec Un < 1 , U0 > 0 U1 >0

merci
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[invite7ffe9b6a]

Une suite croissante et majorée converge.

[invite4f4507a2]

je sais mais comment montrer qu'elle est croissante

[inviteae1ed006]

Bonjour,
on montre facilement que si alors

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

De manière générale, une suite (u_n) est croissante si pour tout n, on a u_n u_n+1

C'est à dire :


ou bien : 0 u_n+1 - u_n

[invite4f4507a2]

c'est le mot facilement qui me gène et surtout le fait que l'on ne parle pas de
Un+2

[inviteae1ed006]

c'est le mot facilement qui me gène et surtout le fait que l'on ne parle pas de
Un+2

Si tu veux, dans ce cas : on montre très difficilement que

[invite4f4507a2]

j'aime bien cet humour

mais pour en revenir au problème je ne trouve pas car je me retrouve avec un rapport de racines que je ne peux comparer à rien

[inviteae1ed006]

j'aime bien cet humour

mais pour en revenir au problème je ne trouve pas car je me retrouve avec un rapport de racines que je ne peux comparer à rien

Bon d'accord car
et

[invite4f4507a2]

balaise le gars

donc là je peux affirmer que la suite est également convergente

[inviteae1ed006]

ba oui puisqu'elle est croissante et majorée...

[invite4f4507a2]

c'est bien ce qui me semblait

j'essaie de refaire tes calculs , as tu sauté des étapes de simplifications?

[invite4f4507a2]

euréka j'ai compris les calculs

[invite4f4507a2]

la fonction a t elle une limite

[invitee625533c]

Quelle est la définition d'une suite convergente ?

[invite14e03d2a]

De manière générale, une suite (u_n) est croissante si pour tout n, on a u_n u_n+1

C'est à dire :

Attention! Ceci n'est vrai que si la suite est strictement positive

ou bien : 0 u_n+1 - u_n

ça c'est toujours vrai par contre

[invite4f4507a2]

qu'elle est cette limite

[invitee625533c]

dans l'égalité de départ qui définit ta suite fais tendre vers pour obtenir une équation d'inconnue , où est la supposée limite.
Résouds l'équation et vérifie...

[invite4f4507a2]

c'est à dire que je dois faire
Un+2 = Racine (Un + Un+1) = L

[invitee625533c]

Une autre façon de démontrer que la suite est croissante:

on sait que sur

on a

d'où

[invite4f4507a2]

bien vu
pour la limite je sèche

[invitee625533c]

Sauf erreur de ma part j'ai l'impression que les termes de la suite vont à un moment sortir de l'intervalle

[invite4f4507a2]

justement , il faut montrer que c'est impossible

[invite4f4507a2]

personne pour m'aider

[invitee625533c]

personne pour m'aider

tu n'as pas essayé mon indication. Tu devrais trouver:

 Cliquez pour afficher

...

[invitee625533c]

bonjour

comment montrer qu'une suite est croissante et convergente quand elle est du genre
Un+2 = Racine (Un + Un+1) avec Un < 1 , U0 > 0 U1 >0

merci

Dans ton énoncé l'hypothèse " Un < 1 " est fausse je crois (relis bien l'énoncé d'origine).

Les seules hypothèses à poser à mon sens sont:

< et
pour tout entier naturel:

Avec cela on doit pouvoir démontrer que la suite est croissate, majorée par

l'intervalle est stable par l'opération:



alors que l'intervalle ne l'est pas.

[invitee625533c]

Pour démontrer que la suite est croissante on peut utiliser un raisonnement par récurrence faible:

- on sait par hypothèse que > .

- montrer que ;

- supposer que pour un entier naturel fixé, puis démontrer que .

De même on peut démontrer que la suite est majorée par 2.

A moins qu'il y a une méthode directe. Je cherche...

[invite4f4507a2]

l'hypothèse Un<1 est à prendre en compte, puis on calcule la limite et on doit en deduit que Un<1 est impossible

[invitee625533c]

Tant que je n'ai pas l'énoncé comlpet on continuera à parler dans le vide.
Dommage car l'exercice est intéressant (en tout cas pour moi)

[invite4f4507a2]

On a la suite (Un) définie par Un+2 = racine de Un + Un+1
avec Un > 0 et U1 > 0

On suppose Un <1

Montrer que (Un) est convergente, calculer sa limite et montrer que c'est impossible