Problème de suites...Aidez moi svp!

[invite61b9002f]

Bonjour à tous !
Voila , je suis en prépa BCPST, et je coince sur un exo de maths depuis un petit bout de temps maintenant...j'ai besoin de vous !

Enoncé:
Pour tout entier n strictement positif, on considère le polynôme Pn:
quelque soit x appartenant à R, Pn (x)=x^n +x^n-1 + ... + x-1

1)Démontrer que Pn admet une racine unique strictement positve An .
2)Déterminer A1 et A2 .
3)Démontrer que pour tout entier n de N*, Pn(An+1) inférieur à 0 .

Je bloque des la première question...Merci à ceux qui veument bien se pencher sur cet exercice et me donner une méthode !!
Bisous à tous !
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[invite03f2c9c5]

Bonjour à tous !
Voila , je suis en prépa BCPST, et je coince sur un exo de maths depuis un petit bout de temps maintenant...j'ai besoin de vous !

Enoncé:
Pour tout entier n strictement positif, on considère le polynôme Pn:
quelque soit x appartenant à R, Pn (x)=x^n +x^n-1 + ... + x-1

1)Démontrer que Pn admet une racine unique strictement positve An .

Je bloque des la première question...

Bonjour, pour commencer, l'énoncé est peut-être un peu ambigu… Il ne s'agit pas de montrer qu'il y a une unique racine réelle, et que celle-ci est strictement positive, mais que dans , il y a une unique racine (il peut aussi y en avoir des négatives éventuellement).

Maintenant, quand on ne sait pas résoudre exactement une équation du type P(x)=0, quelle méthode apprend-on en terminale pour la résoudre de façon approchée, ou du moins trouver le nombre de solutions, sur un intervalle donné ?

[invite61b9002f]

Désolée pour l'énoncé, je l'ai posé tel qu'il était.
Pour trouver les solutions de P(x) =0, à part le visualiser graphiquement ou dans un tableau de variation peut être, je vois pas !

[invite03f2c9c5]

Désolée pour l'énoncé, je l'ai posé tel qu'il était.
Pour trouver les solutions de P(x) =0, à part le visualiser graphiquement ou dans un tableau de variation peut être, je vois pas !

Pour l'énoncé, je ne t'en faisais pas le reproche, c'était juste au cas où ce soit cette ambiguïté qui te pose problème.

Le tableau de variations est une bonne idée. Ce n'est pas difficile de trouver les variations de sur ! À toi de jouer…

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61b9002f]

Bonjour c'est encore moi !

J'ai suivi ton conseil du tableau de variation, et j'ai trouvé Pn(x) croissante, avec lim Pn(x)= +infini pour n->+ infini
Je n'arrive pas à trover l'autre limite qu'il me faut pour pouvoir faire mon tableau de variation sur ]0;+infini[ et pouvoir conclure à une seule racine strictement positive sur cet intervalle .

J'aimerais aussi savoir comment faire pour déterminer ensuite A1 et A2 :j' étend mon étude sur ] - infini ; + infini [ , mais je dois retrouver tout le tableau de variation ou juste regarder par "symétrie" ?

J'ai besoin de votre aide !
Merci d'avance !

[invite03f2c9c5]

J'ai suivi ton conseil du tableau de variation, et j'ai trouvé Pn(x) croissante, avec lim Pn(x)= +infini pour n->+ infini
Je n'arrive pas à trover l'autre limite qu'il me faut pour pouvoir faire mon tableau de variation sur ]0;+infini[ et pouvoir conclure à une seule racine strictement positive sur cet intervalle .

Le polynôme étant continu en 0, sa limite en 0 est tout simplement .

J'aimerais aussi savoir comment faire pour déterminer ensuite A1 et A2 :j' étend mon étude sur ] - infini ; + infini [ , mais je dois retrouver tout le tableau de variation ou juste regarder par "symétrie" ?

Pourquoi vouloir étendre l'étude pour les réels négatifs ? Par définition, tous les sont strictement positifs, y compris pour et . On te demande juste de donner leur valeur exacte pour ces petites valeurs de , car dans ce cas les calculs sont simples. Saurais-tu écrire, concrètement, ce qu'est le polynôme ? ce qu'est le polynôme ?

[invite61b9002f]

Ok pour Pn (0), qui fait (-1) . Donc Pn admet bien une racine unique strictement positive An . Mais je ne comprends pas pourquoi il faut ensuite déterminer 2 An différents A1 et A2 alors qu'il y a une racine unique sur R+*.
On aurait P1 = x+1- x + x^(-2)+...+x-1 et P2 = P1 + x^2 enfin ...je crois !

[invite03f2c9c5]

Ok pour Pn (0), qui fait (-1) . Donc Pn admet bien une racine unique strictement positive An . Mais je ne comprends pas pourquoi il faut ensuite déterminer 2 An différents A1 et A2 alors qu'il y a une racine unique sur R+*.
On aurait P1 = x+1- x + x^(-2)+...+x-1 et P2 = P1 + x^2 enfin ...je crois !

Attention, pour chaque entier , tu as un polynôme différent, et une racine unique pour ce polynôme : et ne sont pas racines du même polynôme, cela ne contredit donc en rien l'unicité.

Par ailleurs, tu n'as pas bien compris l'écriture du polynôme , du moins pour . C'est vrai que l'écriture avec des points de suspension est ambiguë. Quand on écrit

,

cela veut dire qu'on additionne toutes les puissances de pour un exposant compris entre et , puis qu'on retranche 1 au résultat. Bref, sans compter le final, il y a termes dans la somme. Du coup, pour , il n'y a qu'un seul terme dans cette somme, et l'écriture perd son sens pour une valeur de aussi petite. Mais si l'on veut faire comprendre comment le polynôme est fabriqué pour quelconque, on est bien obligé de décrire la somme avec plusieurs termes. En vérité, une notation plus rigoureuse serait

.

En résumé, est un polynôme de degré un tout bête ; saurais-tu l'écrire ?

Ensuite, il est vrai qu'on a , ce qui te donnera un polynôme de degré deux tout simple aussi.

[invite61b9002f]

Merci beaucoup pour vos explications ! Alors si j'ai bien compris, j'aurais:
P1 = x - 1
P2 = x^2 + x -1

d'ou A1 =1
A2 = (-1-(racine 5))/2 ou (-1 +(racine 5))/2 Ici on choisit la deuxième solution car A2 doit être strictement positif.

Une autre question et j'arrête de vous embêter ! Dans une autre partie de l'exercice , il me demande de démontrer que pour tout entier n de N* Pn (An+1) inférieur à 0 , puis en déduire le sens de variation de An . En observant, j'aurais dit qu'elle est décroissante , mais je n'arrive pas à trouver la méthode pour démontrer Pn (An+1) inférieur à 0 .

[invite03f2c9c5]

Bien, c'est juste pour les questions 1. et 2. Maintenant, tu as donné dans un message précédent une relation exacte entre et : ; peux-tu la généraliser pour avoir une relation entre et ? Cela devrait t'aider à dire des choses sur …

[invite61b9002f]

J 'ai réussi à généraliser et à trouver Pn (An+1) <0 puis le sens de variation .Les questions suivantes étaient plus faciles et j'y suis arriver sans trop de problèmes .

Merci beaucoup pour tous ces conseils ! J' ai toujours beaucoup de mal à trouver les méthodes pour commencer les exercices, et c'est souvent ce qui me bloque dans les contrôles...

[invite59d9463a]

Bonsoir, j'ai moi aussi ce problème sur lequel j'étais bloqué, masi grâce à vous j'ai pu avancé ! Cependant, je suis toujours bloquer a cettre question. J'arrive à définir Pn+1 en fonction de Pn mais je n'arrive pas a conlure sur le signe de Pn(An+1)
J'ai donc la relation Pn+1 = Pn + X^n+1
Donc Pn= Pn+1 - X^n+1

Je remplace la variable par An mais comme il change entre An et An+1, je ne peut pas simplifer, et je ne peut pas non plus montrer qu'il est compris entre 0 et 1
Je n'arrive pas vraiment à trouver l'astuce ici. Merci par avance de votre coup de pouce.