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équation différentielle un peu spéciale



  1. #1
    titilde21

    Question équation différentielle un peu spéciale


    ------

    bonjour,
    en cours nous avons vu les équations différentielles linéaires du second ordre. Le prof nous a demandé de faire l'exercice suivant : résoudre sur R : y"(-x)=y(x)
    Mais je ne comprend pas comment résoudre cette équation, le -x me dérange ! je sais résoudre les équations du type ay"(x)+by'(x)+cy(x)=d mais là je ne voit pas du tout comment m'y prendre.
    Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à comprendre et démarrer cet exercice. Merci.
    bonne journée.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    rvz

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    Salut,

    Sauf erreur, sinus est solution. Je te laisse essayer de trouver la deuxième (hint : c'est aussi une fonction trigonométrique)

    Pour la méthode, je pense que le plus naturel est probablement la méthode de la série entière. Tu bourrines une série entière dans ton équation, tu égalises à gauche et à droite, tu trouves une relation de récurrence, tu essaies d'en déduire la fonction, et tu conclus.

    __
    rvz

  4. #3
    physiquantique

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    Sauf erreur, sinus est solution. Je te laisse essayer de trouver la deuxième (hint : c'est aussi une fonction trigonométrique)

    Pour la méthode, je pense que le plus naturel est probablement la méthode de la série entière. Tu bourrines une série entière dans ton équation, tu égalises à gauche et à droite, tu trouves une relation de récurrence, tu essaies d'en déduire la fonction, et tu conclus.

    __
    rvz
    Bonjour à tous
    je voulais savoir:
    on ne pêut pas aussi utiliser la méthode de résolution de ay''+by'+y=0 ?
    avec une relation entre les dérivées secondes et premières ...
    non?
    merci d'avance
    vivons avec légerté

  5. #4
    titilde21

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    rvz merci pour ton aide.
    quand à physiquantique je pense qu'on ne peut pas utiliser la méthode que tu suggère puisqu'on a des variables différentes x et -x.mais je ne suis pas sûre il faudrait l'avis de quelqu'un d'autre.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Bloud

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    Sauf erreur, sinus est solution. Je te laisse essayer de trouver la deuxième (hint : c'est aussi une fonction trigonométrique)

    Pour la méthode, je pense que le plus naturel est probablement la méthode de la série entière. Tu bourrines une série entière dans ton équation, tu égalises à gauche et à droite, tu trouves une relation de récurrence, tu essaies d'en déduire la fonction, et tu conclus.

    __
    rvz
    Salut!
    C'est quand même bourrin comme méthode! S'il/elle vient de voir les équations différentielles linéaires du second ordre, les séries entière me semblent un peu trop avancées. C'est plus simple de poser quelque chose comme : h(x) = y(x) + y(-x) et g(x) = y(x) - y(-x). Quelles équations différentielles vérifient h et g ?
    Une fois que tu as trouvé, résoudre ta première équation est un jeu d'enfant!

    Cordialement.
    I was born intelligent...education ruined me!

  8. #6
    rvz

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    Citation Envoyé par Bloud Voir le message
    Salut!
    C'est quand même bourrin comme méthode! S'il/elle vient de voir les équations différentielles linéaires du second ordre, les séries entière me semblent un peu trop avancées. C'est plus simple de poser quelque chose comme : h(x) = y(x) + y(-x) et g(x) = y(x) - y(-x). Quelles équations différentielles vérifient h et g ?
    Une fois que tu as trouvé, résoudre ta première équation est un jeu d'enfant!

    Cordialement.

    Ah ba oui, c'est vrai, c'est plus simple comme ça ! Je me disais aussi que c'était bizarre de ne pas pouvoir faire ça plus simplement.

    __
    rvz

  9. Publicité
  10. #7
    titilde21

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    encore moi !
    je me suis lancée dans le méthode des séries entières (chapitre déjà vu en cours) avant de voir le message de bloud.Mais j'ai encore un problème (moi et les maths c'est vraiment pas ça !) je trouve deux relations de récurrence selon que k soit pair ou impaire (j'avais posé au préalable la série entière des Uk * (-x)^k) qui sont :
    (k+2)(k+1)*Uk+2 - Uk =0
    (k+2)(k+1)*Uk+2 + Uk =0
    mais comment résoudre ceci? comment trouver Uk en fonction de Uo et k? (peut être que cette question est vraiment bête mais je vois pas !)
    Merci d'avance.
    bonne après-midi.

  11. #8
    physiquantique

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    Citation Envoyé par rvz Voir le message
    Salut,

    Sauf erreur, sinus est solution. Je te laisse essayer de trouver la deuxième (hint : c'est aussi une fonction trigonométrique)

    Pour la méthode, je pense que le plus naturel est probablement la méthode de la série entière. Tu bourrines une série entière dans ton équation, tu égalises à gauche et à droite, tu trouves une relation de récurrence, tu essaies d'en déduire la fonction, et tu conclus.

    __
    rvz
    pour la méthode des séries entières , ne doit on pas connaitre y(0
    )?
    vivons avec légerté

  12. #9
    titilde21

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    ben dans l'énoncé en tout cas on me donne pas de y(o) ! donc je pense qu'on peut faire sans.

  13. #10
    physiquantique

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    Citation Envoyé par titilde21 Voir le message
    ben dans l'énoncé en tout cas on me donne pas de y(o) ! donc je pense qu'on peut faire sans.
    pourrait-tu me donner un document clair sur les séries entières (méthode)
    vivons avec légerté

  14. #11
    physiquantique

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    avez vous des fiches sur cette méthode ???
    vivons avec légerté

  15. #12
    rvz

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    @physiquequantique et tilde21 :

    Effectivement, on trouve deux relations de récurrence. Mais l'espace vectoriel des suites vérifiant ces deux relations de récurrence est de dimension 2 exactement (par exemple une base est donnée en résolvant les équations avec données initiales (u0,u1) = (0,1) puis (1,0) ).

    __
    rvz

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  17. #13
    Zébule

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    J'ai fait cet exercice l'année dernière et je confirme que c'est vraiment la méthode de la décomposition unique en somme d'une fontion paire et d'une fonction impaire qu'il faut utiliser, car c'est bien l'unicité qu'il va falloir invoquer. En fait cet exercice est un classique pour utiliser cette décomposition, j'ai eu la chance () de l'avoir en kholle et de le corriger en classe ...

  18. #14
    titilde21

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    à physiquantique : désolé je n'aie pas de fiche de méthode sur ce cours, nous avons juste fait un exemple.
    bonne journée.

  19. #15
    titilde21

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    à zébule :
    pour résoudre l'éxo j'ai posé une fonction p appartenant à l'ensemble des applications paires et i appartenant à l'ens. des applications impaires et je pose qqsoit x : y(x)=p(x)+i(x). j'obtient ensuite les relations suivantes :
    y(-x)=p(x)-i(x)
    d'ou y"(-x)=p"(x)-i"(x)
    donc pour avoir y"(-x)=y(x) il faut avoir p"(x)-i"(x)=p(x)+i(x)
    Mais ensuite je ne sais plus quoi faire avec ces égalités! comment continuer la résolution de l'exercice? Peux tu m'aider? Merci d'avance.

  20. #16
    Bloud

    Re : équation différentielle un peu spéciale

    Citation Envoyé par titilde21 Voir le message
    à zébule :
    pour résoudre l'éxo j'ai posé une fonction p appartenant à l'ensemble des applications paires et i appartenant à l'ens. des applications impaires et je pose qqsoit x : y(x)=p(x)+i(x). j'obtient ensuite les relations suivantes :
    y(-x)=p(x)-i(x)
    d'ou y"(-x)=p"(x)-i"(x)
    donc pour avoir y"(-x)=y(x) il faut avoir p"(x)-i"(x)=p(x)+i(x)
    Mais ensuite je ne sais plus quoi faire avec ces égalités! comment continuer la résolution de l'exercice? Peux tu m'aider? Merci d'avance.
    Salut,

    Tu ne suis pas! C'est exactement la méthode que je t'ai donnée...
    Bref :
    On dérive deux fois et on obtient :

    Tu fais la même chose avec i pour obtenir une seconde équation différentielle.
    Normalement, tu dois savoir résoudre ces équations facilement. Tu trouves p et i, ce qui te permet de trouver y.

    Dimitri.
    I was born intelligent...education ruined me!

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