Salut,
j'aurais besoin de vos lumières au sujet d'une question de vocabulaire : peut-on parler de somme amalgamée dans n'importe quelle catégorie (pourvu qu'elle existe), ou le terme est-il réservé à la catégorie des groupes ?
Par ailleurs, est-ce qu'un « pullback » est toujours un produit fibré ?
Merci d'avance.
Salut.Envoyé par martini_bird
Dans chaque exemple que j'ai rencontré (catégorie en général, catégorie triangulée, catégorie abélienne, anneaux commutatifs, schémas) on emploie bien ce vocabulaire de somme amalgaméee et de produit fibré (voire pushout et pullback quand on veut faire vite), et on double avec un vocabulaire spécifique à la construction ("somme amalgamée" devient "produit tensoriel au dessus d'un anneau" ou "extension de l'anneau de base" pour les anneaux par exemple, produit fibré devient produit "au-dessus d'un schéma" pour les schémas, ou "extension du corps de base" dans certains cas). Je suppose que le vocabulaire français s'est plus ou moins standardisé avec le temps. En anglais, le "free product with amalgamation" est, me semble-t-il, spécifique aux groupes.
Taar.
Salut,
merci pour ta réponse. Je n'avais pas tilté que somme amalgamée et produit tensoriel répondent au même problème universel. Du coup, on peut dire que les deux constructions coïncident pour la catégorie des groupes abéliens de type fini (puisqu'ils peuvent être vus comme Z-modules), n'est-ce pas ?
Et sinon, tu aurais des exemples où le produit fibré peut se voir comme une extension des scalaires ?
{EDIT] Non, en fait je viens de tilter ce que tu voulais dire : c'est par exemple la construction d'un revêtement au-dessus de B' quand on a un morphismeet un revêtement au dessus de B.[/EDIT]
Cordialement.
Pas exactement. Dans la catégorie des groupes abéliens (donc dans celle des groupes abéliens de type fini), la somme amalgamée n'est autre que la somme directe quotientée (c'est comme dans les groupes tout court, sauf que comme c'est abélien c'est plus simple).
C'est pareil d'ailleurs dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif unitaire fixé.
Remarque en passant que le fait pour G d'être un Z-module ne donne pas de morphisme canonique de groupes Z->G.
C'est dans la catégorie des anneaux (commutatifs et unitaires), où tout est anneau, que ça coïncide avec le produit tensoriel.
Oui. C'est exactement à la version "schéma" de ça que je pensais.Et sinon, tu aurais des exemples où le produit fibré peut se voir comme une extension des scalaires ?
{EDIT] Non, en fait je viens de tilter ce que tu voulais dire : c'est par exemple la construction d'un revêtement au-dessus de B' quand on a un morphisme
Cordialement
Taar.
Salut,
Ok, j'y vois un peu plus clair.Pas exactement. Dans la catégorie des groupes abéliens (donc dans celle des groupes abéliens de type fini), la somme amalgamée n'est autre que la somme directe quotientée (c'est comme dans les groupes tout court, sauf que comme c'est abélien c'est plus simple).
C'est pareil d'ailleurs dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif unitaire fixé.
Merci pour tes lumières !
La question m'était venue notamment en replongeant dans le red book de Mumford. C'est donc amusant que tu parles à plusieurs reprises de schémas.Oui. C'est exactement à la version "schéma" de ça que je pensais.
Cordialement.
Bonjour à tous,
Est ce que le pushout d'un morphisme est la même chose que le pushforward d'un morphisme ? ou bien, il y'a une différence ?
Merci d'avance.
Comme le nom l'indique, non
Merci.
Et quelle est la différence ?
Merci d'avance.
Ah! J'avais lu pullback et pushforward! Au temps pour moi.Bonjour à tous,
Est ce que le pushout d'un morphisme est la même chose que le pushforward d'un morphisme ? ou bien, il y'a une différence ?
Merci d'avance.
En theorie des categories, pushout et pushforward sont la meme chose.
