Relation en Arccos et Arcsin

**T@kniX** · 18/11/2007, 10h59

Salut tout le monde

Je dois prouver ceci :
$(\forall x \in [0,1]) \arccos(1-x) = 2\arcsin{\sqrt{\frac{x}{2}}}$

J'ai déjà fait ceci :
$\textrm{On sait : }(\forall x \in [-1,1]) \arccos{x} + \arcsin{x} = \frac{x}{2}$

$\textrm{Or }(\forall x \in [0,1]) (1-x) \in [-1,0] \subset [-1,1]$

$\textrm{Donc }(\forall x \in [0,1]) \arccos(1-x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(1-x) = \arcsin 1 - \arcsin(1-x)$

Mais après cela je bloque...

Déjà, est-ce que je suis sur la bonne piste ?
Comment continuer ?

Merci d'avance à celui ou celle qui pourra m'aider.

**Dydo** · 18/11/2007, 11h13

Pourquoi ne pas penser à poser une fonction auxiliaire :

$\forall x \in [0,1], f(x)=Arccos(1-x)-2Arcsin(\sqrt(\frac{x}{2}))$

Si tu veux montrer l'égalité, tu n'as qu'à montrer que la différence est constante :þ

**T@kniX** · 18/11/2007, 12h21

Que la différence est nulle plutôt (même si elle est en effet constante)

Bien meilleure méthode en tout cas, merci à toi j'ai réussi à la démontrer de cette façon.

**breukin** · 18/11/2007, 16h42

Tu peux aussi appliquer le cosinus aux deux membres.

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