fausse démonstration mathématique

[invite44988a41]

salut

on me donne une fausse démonstration et je dois trouver où a été faite l'erreur. le problème c'est que j'ai beau chercher je n'arrive pas à voir où est l'erreur!!

quelqu'un serait-il m'aider?

Voici le théorème et la fausse démonstration:

Si a est un nombre réel non nul, alors a^n-1 = 1 pour tout entier n supérieur ou égal à 1.

Démonstration:

Procédons par récurrence sur n.
Le théorème est vrai pour n=1 car a^1-1 = a⁰ = 1
Hypothèse de récurrence: supposons le théorème vrai pour tout n = 1, 2, 3,..., k-1, k.
Montrons qu'il est encore vrai pour n=k+1

a^(k+1)-1 = a^k = (a^k-1 * a^k-1)/a^k-2 = (1*1)/1 = 1

où a^k-1 est la valeur de a^n-1 pour n = k donc qui est égal à 1 par l'hypothèse de récurrence
et
a^k-2 est la valeur de an-1 pour n = k-1 qui est égal à 1 par l'hypothèse de récurrence.
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[invite2220c077]

où a^k-1 est la valeur de a^n-1 pour n = k donc qui est égal à 1 par l'hypothèse de récurrence

c'est ici que ça coince puisque n = k +1, donc k - 1 = n - 2.

[invite6bacc516]

Le problème vient du fait que tu utilises un raisonnement de récurrence triple en initialisant la proposition que pour le rang n=1.

Effectivement ton hérédité fait intervenir les termes a^k-1 et a^k-2, or rien ne te dit qu'ils sont forcément égaux à 1, pour ça il faudrait que les rangs 1, 2 et 3 soient vrais.

Effectivement pour le rang n=1, a⁰ = 1 certes, mais est-ce que a^-1 et a^-2 sont aussi forcément égaux à 1, je ne suis pas sûr

Pour que ta récurrence soit juste et rigoureuse, il faut commenser par montrer que les trois premiers termes sont vrais pour tout a, ce qui n'est évidemment pas le cas

[invite7f6a5e12]

Hypothèse de récurrence: supposons le théorème vrai pour tout n = 1, 2, 3,..., k-1, k.

Non, tu n'as pas le droit.
Il faudrait démontrer d'abord que si le théorème est vrai pour k il est vrai pour k-1.
Donc tu supposes qu'il est vrai pour k
a^k-1 = 1
Tu fais le calcul pour k-1 a^(k-1)-1 = a^k-1/a = 1/a

Or 1/a n'est égal à 1 que si a=1

Donc si le théorème est vrai pour k il n'est pas vrai pour k-1 sauf si a = 1

Donc le reste de la démonstration est faux

CQFD

[A voir en vidéo sur Futura]