Convolution et transformée de fourier

[Evil.Saien]

Bonjour à tous,
j'ai une remarque concernant la convolution, qui revient au meme que la multiplication dans le domaine de fourier.
Prenons le cas de la convolution d'une image par un filtre de meme taille. Avec la methode de la transformée de fourier, la convolution se fait en prenant les TdF discrete de l'image et du filtre, en les multipliant puis en faisant la TdF discrete inverse. Apparement, aucun probleme de bord...
Avec la methode "classique" ou le resultat est la somme du produit de l'image par le filtre en deplacant le filtre partout sur l'image, il apparait des effets de bord. En effet, une partie du filtre peut etre positionnée en dehors de l'image et alors on utilise le plus souvent quelques ruses pour contrer ca, par exemple on considere l'image periodique ou on fait le miroir...

Nous pouvons donc voir que dans un cas il y a un probleme flagrant d'effet de bord, alors que dans l'autre cas aucun probleme ! Et pourtant les deux solutions sont sensées etre identiques !

Voici ma question : y'a-t-il un effet de bord caché lorsqu'on fait la DFT ?

Merci
a+
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[Coincoin]

Salut,
Je ne suis pas sûr d'avoir bien saisi ton problème, mais je vais quand même essayer de répondre
Si tu considères la tranformée de Fourier discrète (FFT), tu as obligatoirement un échantillonnage. Or qui dit échantillonnage dit repliement de spectre (le spectre devient périodique et pour peu que tu n'aies pas respecté le critère de Shannon, c'est le drame...). Il s'agit d'une conséquence mathématique inévitable de la discrétisation, et non d'une gruge dans le calcul.

[Evil.Saien]

Re Monsieur,
oui tout a fait, le spectre deviens non seulement periodique, mais en plus discret.
En fait, la vraie question est la suivante : en considerant qu'il n'y a aucun probleme de frequence de nyquist, y'a-t-il des problemes de bords en passant par la transformée de fourier ?

Voila,
merci
a+

[Coincoin]

Euh... je ne vois pas pourquoi il y aurait des problèmes de bord en passant par la TF. Les problèmes de bord ne sont qu'apparents si tu fais la convolution (en "déplaçant" le filtre). "Apparents", car en fait ce n'est problématique que si tu oublies de périodiser ton spectre... Non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

Hum,
Je crois que je ne suis pas trop d'accord avec ce qui précède. Lorsque tu fais la TF, certes le spectre est périodiser mais l'image de départ est elle même périodisée. Si bien que lorsque tu calcules le produit des TF et que tu fais la TF inverse, cela revient à avoir fait une convolution avec des images qui étaient entièrement périodique.

Il n'y a rien de caché là dedans... la TF est une périodisation de ton image

[Coincoin]

Euh... oui, j'avais oublié que les TF dont on parlait étaient des TF discrètes (j'avais les maths en tête, pas la physique).

[zoup1]

Ce n'est pas une histoire de discrétisation mais plutôt de taille finie...

[Coincoin]

Euh... je suis peut-être pas spécialiste en transformée de Fourier, mais là je te suis plus. En quoi la taille finie périodise ton spectre ?
Le fait que la taille du spectre soit finie ne me semble pas jouer, au pire tu convolues ton signal par un sinus cardinal, mais tu ne périodises pas ton spectre... Si tu pouvais m'expliquer

[zoup1]

Euh désolé, je crois qu'il s'agit d'une incompréhension, nous sommes d'accord.
quand je dis taille finie, je parle de taille finie de l'image...
et donc effectivement de discrétisation de l'espace de Fourier.

J'ai du mal à vivre à plein dans un espace réciproque !!!

[Coincoin]

Ok... tu m'as fait douter des quelques principes de traitement du signal que je connais. Et j'avoue que pour moi aussi, jongler entre l'espace temporel et l'espace fréquentiel a beau être particulièrement pratique, ça n'en reste pas moins acrobatique parfois.