Equation ...

[invitec7b3f097]

Bonjour,

Est-ce que c'est possible de trouver le plus petit entier x tq 10^(x-1)/x>9^n pour n entier >0 fixé ?

(trouver une formule explicite )
Merci.
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[invite4793db90]

Bonjour,

Est-ce que c'est possible de trouver le plus petit entier x tq 10^(x-1)/x>9^n pour n entier >0 fixé ?

(trouver une formule explicite )
Merci.

Salut,
tu veux dire ou ?

Dans le deuxième cas, je doute qu'il y ait une formule simple...

[invitec7b3f097]

Le deuxième évidemment

Bon je pense avoir une méthode:

soit y tq 10^(y-1)=9^n.
Le truc c'est de montrer que x est très proche de y:
soit g(x)=10^(x-1)/x
et calculons g(y+t).

On trouve: g(y+t)=ln(10).9^n.10^t/(ln(10).t+2n.ln(3)+ln(10))

g(y+t)>9^n -> 10^t-t > 2n.ln(3)/ln(10)+1
Comme t est très petit par rapport à 10^t, on néglige

et ainsi: t = (environ) ln(2n.ln(3)/ln(10)+1)/ln(10)

et ainsi x=int(y+ln(2n.ln(3)/ln(10)+1)/ln(10))+1
Comme y=(2n.ln(2)+ln(10))/ln(10), on obtient finalement,
x=int((2n.ln(2)+ln(10))/ln(10)+ln(2n.ln(3)/ln(10)+1)/ln(10))+1

C'est bon ?

[invite4793db90]

J'ai pas tout lu, mais ça ne marche pas pour n>4...

Le truc c'est de montrer que x est très proche de y

x est entier, du coup je comprends pas trop.... :confused:

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7b3f097]

J'ai pas tout lu, mais ça ne marche pas pour n>4...

x est entier, du coup je comprends pas trop.... :confused:

Ben moi ça marche.
n=5, x=7 d'après la formule. 9^5=59049
si f(x)=10^(x-1)/x
f(6)= environ 16667
f(7)= environ 142857.

Ben le fait que x soit entier ça ne gêne pas...

[invite4910fcda]

Essaye un raisonnement par récurence. Je vais chercher.

[invitec7b3f097]

Ben j'ai montré que x=int((2n.ln(2)+ln(10))/ln(10)+ln(2n.ln(3)/ln(10)+1)/ln(10))+1 :

On montre que si x'=((2n.ln(2)+ln(10))/ln(10)+ln(2n.ln(3)/ln(10)+1)/ln(10) et si f(x)=10^(x-1)/x
alors f(x')<9^n<f(x'+1)
comme f est croissante, continue sur [1,+oo[, x=int(x')+1.

et ça m'a l'air bon.

Par récurrence sur n me paraît improbable.

[invite4793db90]

Salut,

La formule que tu as écrite en #3 est-elle juste? (je trouve x=5 pour n=5...)
Bon, de toute façon, ça me semble pas très rigoureux tout ça...

[invitec7b3f097]

Effectivement, la bonne formule c'est:
int((ln((2n.ln(3)+ln(10))/ln(10) ) +2n.ln(3)+2ln(10))/ln(10) )

Ben moi je trouve ça rigoureux:

je pose x'=(ln((2n.ln(3)+ln(10))/ln(10) ) +2n.ln(3)+ln(10))/ln(10)
et je montre que
f(x')<f(9^n)<f(x'+1)

Donc x=int(x'+1)

[invite4793db90]

Je suis désolé, mais ta formule est fausse pour n=107...
(ta formule donne x=108 alors que x=109)

[invite4793db90]

Pardon, je voulais dire pour n=110. Ca ne marche pas non plus pour n=157...

[invitec7b3f097]

Tout marche

[invite4793db90]

Salut,

tu as encore changé de formule!
Ta formule en #9:



et la formule que tu as utilisée dans tes calculs:



Toujours est-il que ta deuxième est fausse pour n=34 (elle donne x=36 au lieu de 35... Désolé.

[invitec7b3f097]

Salut,

Tu as du mal dis donc...
La formule est exactement la même (Tu pourras compter le nombre de Log[10], 4 dans la formule que j'utilise, 3 dans la seconde que tu proposes )



Tu vérifies avec quoi ?

De toute façpn j'ai démontré que la formule marchait (cf mes messages précédents)

[invitec7b3f097]

Evident, sous Mathematica Log[n] c'est en base e

[invite4793db90]

Salut,
bon, je reste calme

Est-ce que tu pourrais s'il te plaît écrire la formule proprement (avec latex, si tu peux).
Tu l'auras remarqué, je ne suis pas convaincu par ta démonstration, mais il est possible qu'elle soit juste.

Tu vérifies avec quoi ?

A la main!
Non, avec maple, mais bon.

[invite4793db90]

Salut,

bon, j'en remets une couche en attendant ta réponse : j'utilise la formule suivante (j'espère que c'est la bonne ):



A+

[invitea8961440]

Interessant tous ces calculs ,la reponse est pourtant fort simple!

[invite4793db90]

Interessant tous ces calculs ,la reponse est pourtant fort simple!

Salut ulrich richarovitch,

pourrais-tu stp communiquer la réponse?