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Fonction Gamma : approximation en zéro



  1. #1
    Gwyddon

    Fonction Gamma : approximation en zéro


    ------

    Bonsoir à tous,

    Dans le cadre de mon cours de renormalisation en théorie des champs, on a besoin de l'approximation de la fonction d'Euler en zéro :

    avec constante d'Euler-Mascheroni.

    Auriez-vous une idée de comment se démontre cette égalité ? J'ai essayé de voir avec des développements en série de l'exponentielle dans la fonction gamma, mais

    Merci d'avance

    -----
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  2. Publicité
  3. #2
    ThSQ

    Re : Fonction Gamma : approximation en zéro

    De on peut montrer que

    (par encadrement puis limite)
    puis que
    ton développement asymptotique en découle sofort.

  4. #3
    Gwyddon

    Re : Fonction Gamma : approximation en zéro

    Bonjour,

    Merci pour les pistes, même si ça ne me semble pas évident à exploiter je sens l'idée derrière
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  5. #4
    Ksilver

    Re : Fonction Gamma : approximation en zéro

    Salut !


    Gamma(h)=Gamma(1+h)/h

    il s'agit donc de démontrer que Gamma(1+h)=1+h*gamma+o(h²)

    comme on sais déja que Gamma est Cinfinit, il s'agit de prouver que Gamma'(1)=gamma


    bon la en revanche c'est un poil plus compliqué, les démonstrations que je connait sont un peu fastidieuse. mais à tu réellement bessoin de savoir que la constante est gamma, ou juste que c'est un réel positif ?

  6. #5
    Ksilver

    Re : Fonction Gamma : approximation en zéro

    euh... faut remplacer les gamma par des -gamma ^^

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ksilver

    Re : Fonction Gamma : approximation en zéro

    Sinon pour le prouver on peut poser Psi(x) = d/dx (ln(Gamma(x)))


    montrer que Psi(x+1)=Psi(x)+1/x, donc que Psi(n+1)=Psi(1)+1+1/2+1/3+...+1/n

    apres faut utiliser stirling pour dire que :
    ln(Gamma(x)) = x.(ln x -1)-ln(x)/2+ln(2Pi)/2+o(1)

    puis (faudrait revoir un peu ce point en fais) en utilisant la log convéxité de Gamma(x) on doit pouvoir dériver tous sa pour prouver que :

    Psi(x)=ln(x)+o(1)

    et on peut alors conclure que Psi(1)=-gamma en regardant la limite en +l'infinit

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  10. #7
    invite54165721

    Re : Fonction Gamma : approximation en zéro

    Bonnes fêtes,

    Pour le comportement de Gamma au voisinage de 0, il y a aussi la formule des compléments:


    que l'on trouve démontré ici aux identités remarquables.

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