Bonsoir à tous,
Dans le cadre de mon cours de renormalisation en théorie des champs, on a besoin de l'approximation de la fonction d'Euler en zéro :
avec
Auriez-vous une idée de comment se démontre cette égalité ? J'ai essayé de voir avec des développements en série de l'exponentielle dans la fonction gamma, mais
Merci d'avance
De
puis que
ton développement asymptotique en découle sofort.
Bonjour,
Merci pour les pistes, même si ça ne me semble pas évident à exploiter je sens l'idée derrière
Salut !
Gamma(h)=Gamma(1+h)/h
il s'agit donc de démontrer que Gamma(1+h)=1+h*gamma+o(h²)
comme on sais déja que Gamma est Cinfinit, il s'agit de prouver que Gamma'(1)=gamma
bon la en revanche c'est un poil plus compliqué, les démonstrations que je connait sont un peu fastidieuse. mais à tu réellement bessoin de savoir que la constante est gamma, ou juste que c'est un réel positif ?
euh... faut remplacer les gamma par des -gamma ^^
Sinon pour le prouver on peut poser Psi(x) = d/dx (ln(Gamma(x)))
montrer que Psi(x+1)=Psi(x)+1/x, donc que Psi(n+1)=Psi(1)+1+1/2+1/3+...+1/n
apres faut utiliser stirling pour dire que :
ln(Gamma(x)) = x.(ln x -1)-ln(x)/2+ln(2Pi)/2+o(1)
puis (faudrait revoir un peu ce point en fais) en utilisant la log convéxité de Gamma(x) on doit pouvoir dériver tous sa pour prouver que :
Psi(x)=ln(x)+o(1)
et on peut alors conclure que Psi(1)=-gamma en regardant la limite en +l'infinit
Bonnes fêtes,
Pour le comportement de Gamma au voisinage de 0, il y a aussi la formule des compléments:
que l'on trouve démontré ici aux identités remarquables.
