Bonsoir j'aurais besoin d'aide pour quelques questions de mon exo, je vous mets l'énoncé ci-dessous. Comme il est assez long je vous mets ????? à côté des numéros des questions que je ne suis pas arrivée à résoudre.
je vous remercie d'avance pour votre aide
énoncé: soit (E) l'équation : x²+y²=z²
On note S l'ensemble des triplets (x,y,z) de Z²xN, solution de (E) tels que y soit pair et tel qu'il n'existe pas d'entier naturel autre que 1 divisant x,y et z (ce qui s'écrit x^y^z=1).
On note S' l'ensemble des triplets de la forme (u²-v²,2uv,u²+v²) lorsue (u,v) parcourt Z² en vérifiant u^v=1 et 2/(u+v+1)
I)1) Soit x ds Z. Montrer que si x est pair alors 4/x² et que si x est impair 4/x²-1
2) soit(x,y,z) ds Z^3 une solution de (E). En utilisant la question précédente, montrer que x et y ne peuvent pas être tous les deux impairs.En déduire que si (x,y,z)S, x est impair.
II) on veut montrer que S' est inclus ds S
1) Soit (u,v) ds Z² tel que u^v=1. Montrer que u²^v²=1.
2)Soit n un entier naturel divisant u²-v² et u²+v². Montrer qu'alors n divise 2u² et 2v².
3) En déduire que les seuls entiers naturels qui divisent u²-v² et u²+v² sont 1 et 2.
4) Soit (u,v)
5) ??????? En déduiren utilisant la question I)1), qu'en fait (u²-v²)^(u²+v²)=1.
6) Montrer que S' est inclus dans S(penser à toutes les conditions que doivent vérifier les éléments de S).
III) On veut maintenant montrer l'inclusion inverse c'est à dire S est inclus dans S'. Soit (x,y,z)
1) ??????? Montrer que ', y' et z' sont des entiers.
2) vérifier que y'²=x'z'.
3) Montrer que x'^z'=1.
4) ??????? En déduire, en utilisant la question III)2), que x' et z' sont en fait des carrés ( on pourra utiliser la décomposition en facteurs premiers de y')
j'espère que vous pourrez m'aider avec ces 3 questions sur lesquelles je bute. Merci d'avance pour votre aide
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