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Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)




  1. #1
    Romain-des-Bois

    Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Bonjour !

    Je veux calculer l'aire d'un ellipsoïde (enfin, je connais déjà le résultat) via la méthode la plus calculatoire qui soit

    Je paramètre :
    P(u,v) = ( a cos(u) sin(v) ; b sin(u)sin(v) ; c cos(v) )

    Les dérivées par rapport à u et v : (que je note resp. d1P et d2P)

    d1P= ( -a sin(u) sin(v) , b sin(u) cos(v),0)
    d2P = (a cos(u) cos(v) , b sin(u) cos(v), -c sin(v) )

    Calcul du produit vectoriel V = d1P v d2P :
    V= -sin(v) ( bc sin(v) cos(u) , ac sin(v) sin(u), ab cos(v) )

    Et le problème se produit maintenant :
    Pas moyen de simplifier de manière significative la norme pour pouvoir intégrer (jai tout essayé : linéarisation, faire apparaître des carrés... j'ai même essayé d'intégrer avec la racine (changements de variable...)) Bref, ça marche pas trop... et ça me semble bizarre, ça devrait bien se goupiller...


    Je vous remercie de votre aide !

    Romain

    -----


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  3. #2
    CM63

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Fait un changement de variable de façon à transformer ton ellisoïde en sphère, et le résultat est immédiat.

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    L'aire d'une ellipse se calcule facilement, mais pas son périmètre.
    Le volume d'un ellipsoïde se calcule bien mais pas son aire. En effet, il suffirait d'intégrer une toute petite bande autour du plan x=0 et on aurait le périmètre d'une ellipse, ce qui n'est pas possible sans intégrales elliptiques.


  5. #4
    breukin

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    En revanche, pour les ellipsoïdes allongés a=b<c ou applatis a=b>c (la Terre), c'est possible avec les fonctions usuelles.

  6. #5
    Romain-des-Bois

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Bonjour et merci à tous de vos réponses...

    j'avais tenté le changement de variable ellipsoïde -> sphère, malheureusement ça ne simplifie pas vraiment, et puis il faut pouvoir le faire (conditions sur a, b et c) (ou alors je n'ai pas compris ce que tu veux dire CM63 !)

    Bon, je mets la fonction qu'on est sensé intégrer :

    sin(v) ( c²sin²(v) (b²cos²(u) + a²sin²(u)) + a²b²cos²(v) )1/2

    Ici, je n'ai aucune condition sur a, b et c

    Finalement, mon calcul n'arrivera pas au bout, c'est bien ça ?


    encore merci


    Romain

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    CM63

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Oui, autant pour moi, le changement de variable sphérique ne permet pas de calculer l'aire d'une ellipsoïde, pas plus que le périmètre de l'éllipse,comme le dit Jeanpaul. Mais ton problème n'a pas de solution, on ne peux pas trouver d'expression générale pour l'intégrale elliptique.

  9. #7
    Romain-des-Bois

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Ah ! Ca me rassure

    Bon, et bien merci à tous alors !


    Romain

  10. Publicité
  11. #8
    zapple

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    J'ai pu trouver ces liens:

    1) http://home.att.net/~numericana/answer/ellipsoid.htm qui donne plusieurs liens vers des calculs assez complexes je dois dire.

    2) http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BS...__21__17_0.pdf

  12. #9
    Romain-des-Bois

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Citation Envoyé par zapple Voir le message
    J'ai pu trouver ces liens:

    1) http://home.att.net/~numericana/answer/ellipsoid.htm qui donne plusieurs liens vers des calculs assez complexes je dois dire.

    2) http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BS...__21__17_0.pdf
    Merci

    Romain

  13. #10
    Benoit120

    Red face Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    bonjour
    J'ai trouvé sur internet 3 calculs pour connaitre l'aire d'une éllipsoïde révolution allongée:
    -2pi(a "au carré" + b "au carré"(arcsine/e))
    -2pi.b(b + a(arcsine/e))
    -2pi.a au carré + 2pi.a.b.(arcsine/e)

    avec e=0.81 (dans mon cas)
    a demi grand axe
    b demi petit axe

    Ces trois expressions me donnent toutes un résultats différent mais proches.
    De plus, je ne sais pas si "e" est en eradian ou en degré.

    Merci d'éclairere ma lanterne
    Voir le possible là où les autres voient l'impossible, telle est la clef du succès.

  14. #11
    breukin

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Soit un ellipsoïde de révolution ayant pour demi-axes (a,b,b). L'ellipsoïde est allongé si a > b, il est aplati si a < b. On note r = b/a.
    L'équation de l'ellipse génératrice est y(x) = r.(a2x2)½

    La surface de révolution d'une tranche élémentaire dx est donnée par 2πy(x).(1+y'(x)2)½dx = 2πr.{a2–(1–r2)x2}½dx, ce qui conduit à

    S = 4πab(0,1){1–(1–r2)u2}½du

    Pour un ellipsoïde allongé, r < 1 et on note e2 = 1–r2, et on a :
    S = 4πab(0,1){1–e2u2}½du

    Pour un ellipsoïde aplati, r > 1 et on note e2 = r2–1, et on a :
    S = 4πab(0,1){1+e2u2}½du

    Pour l'ellispoïde allongé, le calcul final donne :
    S = 2πab{(1–e2)½+e–1arcsin e}, qui vaut bien 4πa2 si b = a, r =1, e=0.

  15. #12
    jcop

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    À Benoit120 :
    Les formules 2 et 3 que tu as indiquées sont identiques.
    L'aire d'une ellipsoïde allongée (grand axe a, petit axe b) est :
    2 . PI . ( b² + ab/e . arcsin(e)), avec e = (a² - b²)½

  16. #13
    Seirios

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Je suis sûr que Benoit120 sera ravi d'avoir une réponse presque cinq ans après avoir posé sa question
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  17. #14
    jcop

    Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Ah ouais j'avais pas fait gaffe. Mieux vaut tard que jamais !

  18. #15
    Benoit120

    Wink Re : Aire ellipsoïde (drôle d'intégrale)

    Merci quand même !
    Voir le possible là où les autres voient l'impossible, telle est la clef du succès.

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