Archimède et pi

invite095d3681 · 27/12/2007, 12h37

Comment Archimède a-t-il fait exactement pour encadrer pi entre 3 + 10/71 et 3 + 1/7 ?

invite769a1844 · 27/12/2007, 12h44

Il me semble que c'est comme ça:

Tu encadres ton cercle à l'intérieur et à l'extérieur par un polygone régulier à 96 côtés.

Tu calcules le périmètre de ces polygones, il y en a un qui aura pour périmètre 3 + 10/71 et l'autre 3 + 1/7.

invite769a1844 · 27/12/2007, 12h51

j'oubliais un détail important, il faut prendre un cercle qui a pour circonférence $\text{[math]}$ (ie de rayon 1/2)

invite095d3681 · 27/12/2007, 13h00

Envoyé par rhomuald

Il me semble que c'est comme ça:

Tu encadres ton cercle à l'intérieur et à l'extérieur par un polygone régulier à 96 côtés.

Tu calcules le périmètre de ces polygones, il y en a un qui aura pour périmètre 3 + 10/71 et l'autre 3 + 1/7.

Oui, mais comment calculer le perimètre de ce polygone ?
Il faut utiliser la formule sinus.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteea6fd0dc · 27/12/2007, 13h11

Envoyé par rhomuald

j'oubliais un détail important, il faut prendre un cercle qui a pour circonférence $\text{[math]}$ (ie de rayon 1/2)

Bonjour,

J'avoue ne pas tout comprendre; il me faut prendre un cercle de rayon $\text{[math]}$ /2 alors que je ne connais pas $\text{[math]}$ ... puisque je le cherche ?

invite769a1844 · 27/12/2007, 13h14

Envoyé par baguette

Bonjour,

J'avoue ne pas tout comprendre; il me faut prendre un cercle de rayon $\text{[math]}$ /2 alors que je ne connais pas $\text{[math]}$ ... puisque je le cherche ?

Tu le connais, là tu cherches à le calculer Pi, on le définit pas comme 3.14... mais comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.

invite769a1844 · 27/12/2007, 13h22

Envoyé par Costian

Oui, mais comment calculer le perimètre de ce polygone ?
Il faut utiliser la formule sinus.

fais un dessin et regarde pour des polygones réguliers à 2 côtés, puis 3, puis 4, etc...

A chaque fois tu peux prendre deux sommets consécutifs du polygone et faire un triangle isocèle avec comme troisième sommet le centre du cercle O.

la base de ton triangle est alors une arete, pour calculer sa longueur il me semble que l'on peut se débrouiller sachant l'angle au sommet O et les deux autres côtés ce qui va surement donner ta formule avec le sinus (un triangle isocèle, c'est deux triangle rectangles). Après pour calculer le périmètre toutes les arretes sont égales vu que c'est un polygone régulier.

Il me semble que ça marche comme ça, à voir.

invite769a1844 · 27/12/2007, 13h23

Envoyé par baguette

Bonjour,

J'avoue ne pas tout comprendre; il me faut prendre un cercle de rayon $\text{[math]}$ /2 alors que je ne connais pas $\text{[math]}$ ... puisque je le cherche ?

et puis j'ai dit de prendre un cercle de rayon 1/2 pas pi/2.

inviteea6fd0dc · 27/12/2007, 13h37

Envoyé par rhomuald

j'oubliais un détail important, il faut prendre un cercle qui a pour circonférence $\text{[math]}$ (ie de rayon 1/2)

si la circonférence est $\text{[math]}$ , le rayon est $\text{[math]}$ /2, non ?
Ou alors il faut peut être revoir ta phrase !

invite769a1844 · 27/12/2007, 13h41

Envoyé par baguette

si la circonférence est $\text{[math]}$ , le rayon est $\text{[math]}$ /2, non ?
Ou alors il faut peut être revoir ta phrase !

Si je me souviens bien la circonférence d'un cercle de rayon r est $\text{[math]}$ .

Si on veut que cette circonférence soit égale $\text{[math]}$ , alors on doit résoudre l'équation $\text{[math]}$ d'inconnue $\text{[math]}$ , qui a pour unique solution $\text{[math]}$ .

**zoup1** · 27/12/2007, 13h42

Envoyé par baguette

si la circonférence est $\text{[math]}$ , le rayon est $\text{[math]}$ /2, non ?
Ou alors il faut peut être revoir ta phrase !

si le rayon est $\text{[math]}$ la circonférence est $\text{[math]}$

invite769a1844 · 27/12/2007, 13h46

Envoyé par zoup1

si le rayon est $\text{[math]}$ la circonférence est $\text{[math]}$

non je ne crois pas, je dirai plutôt
si le rayon est $\text{[math]}$ la circonférence est $\text{[math]}$ .

**zoup1** · 27/12/2007, 13h51

Envoyé par rhomuald

non je ne crois pas, je dirai plutôt
si le rayon est $\text{[math]}$ la circonférence est $\text{[math]}$ .

Tu as tout a fait raison, mon clavier a fourché...

invitebbe24c74 · 27/12/2007, 13h52

Envoyé par zoup1

si le rayon est $\text{[math]}$ la circonférence est $\text{[math]}$

NON, c'est l'inverse !!!!

On a:
circonference = 2pi*r

Si tu prend r=1/2, tu as bien circonference = pi

EDIT: bon ben tu as vu ton erreur

Je ne sais pas comment supprimer

**zoup1** · 27/12/2007, 13h54

Envoyé par Thibaut42

EDIT: bon ben tu as vu ton erreur

Je ne sais pas comment supprimer

mea culpa...

invite769a1844 · 27/12/2007, 13h55

Envoyé par zoup1

Tu as tout a fait raison, mon clavier a fourché...

lol oui c'est ce que je pensais, ça me paraissait bizarre au vu de tes derniers posts que tu ne saches pas calculer la circonférence d'un cercle (c'est quand même plus abordable que la méthode de Runge Kutta, les équa diff, ...

)

invite095d3681 · 27/12/2007, 13h58

Envoyé par rhomuald

fais un dessin et regarde pour des polygones réguliers à 2 côtés, puis 3, puis 4, etc...

Y'a t-il un polygone à 2 cotés ??

Bon, est ce que Archimède connaissait le sinus ? le cosinus ? la trigonométrie ?

Il me semble après avoir visité plusieurs sites:
Qu'il a pri d'abord un polygone à 6 cotés, puis il double à chaque fois le nombre des cotés, donc il a utilisé la formule sin(x/2) à partir de sin(x):
sin(x/2) = sqrt((1-sqrt(1-sin^2(x)) * 1/2)
Ceci demande une vaste connaissance en trigonométrie, ensuite si on veut utiliser cette formule, il faut extraire les racines carrés à la main.
Et surtout prendre plusieurs chiffres après la virgule (7 chiffres).
Est ce que Archimède connait tout ça ?!!! ???

invite769a1844 · 27/12/2007, 14h08

Envoyé par Costian

Y'a t-il un polygone à 2 cotés ??

Bon, est ce que Archimède connaissait le sinus ? le cosinus ? la trigonométrie ?

Il me semble après avoir visité plusieurs sites:
Qu'il a pri d'abord un polygone à 6 cotés, puis il double à chaque fois le nombre des cotés, donc il a utilisé la formule sin(x/2) à partir de sin(x):
sin(x/2) = sqrt((1-sqrt(1-sin^2(x)) * 1/2)
Ceci demande une vaste connaissance en trigonométrie, ensuite si on veut utiliser cette formule, il faut extraire les racines carrés à la main.
Et surtout prendre plusieurs chiffres après la virgule (7 chiffres).
Est ce que Archimède connait tout ça ?!!! ???

Oui je ne sais pas si un segment est considéré comme un polygone, bref c'est un détail.

Archimede devait connaitre la trigonométrie, Euclide a juste avant bien organisé tout ce qui est géométrie, et ces résultats devaient sûrement être découverts encore avant. Juste que c'était pas formalisé comme maintenant, mais l'idée reste la même. (C'est pour faire une reconstitution historique?

).

Pour extraire les racines carrées à la main, ils savaient faire aussi déjà à l'époque de Babylone, je crois que ça s'appelle la méthode de Héron d'Alexandrie. Et oui ils étaient pas bêtes ces grecs, en plus n'oublions pas qu'Archimède était un grand génie.

invite769a1844 · 27/12/2007, 14h17

oui et pour les chiffres après les virgules, le concept de fractions est connue depuis les égyptiens je crois, pour approximer de manière juste.

Je crois même qu'ils avaient une sorte de développement limité qui s'appelle les approximants de pandé ou les fractions continues, à voir.

invite095d3681 · 27/12/2007, 14h33

Le problème c'est que si on inscrit et circonscrit un polygone à 96 cotés à l'interieur et à l'exterieur du cercle, on trouve pas les valeurs qu'Archimède a trouvé (3 + 10/71 et 3 + 1/7) mais des valeurs légerement différentes:
3+10/71 = 3.1408450 ; 3+1/7= 3.1428571

et les valeurs qu'on trouve si on fait un poly à 96 cotés sont:

3.1410319 et 3.1427145

De même on dit que la notation décimale n'existe pas à son époque, alors comment il a extrait les racines carrés ? En plus si la notation décimale n'existe pas, alors quel est l'interet d'encadrer pi entre 3+10/71 et 3+1/7 ?

invite095d3681 · 27/12/2007, 14h38

Si on utilise la méthode d'Archimède et on extrait les racines à la main:
On trouve d'abord une valeur de pi supérieure à pi, (c'est la valeur par defaut qui doit etre normalement inférieure à pi), et puis on s'approche de plus en plus de 3.141031 tout en augmentant les chiffres après la virgule des racines carrés.
Mais d'où Archimède a-t-il trouvé cet encadrement ?

invite769a1844 · 27/12/2007, 14h49

Envoyé par Costian

Le problème c'est que si on inscrit et circonscrit un polygone à 96 cotés à l'interieur et à l'exterieur du cercle, on trouve pas les valeurs qu'Archimède a trouvé (3 + 10/71 et 3 + 1/7) mais des valeurs légerement différentes:
3+10/71 = 3.1408450 ; 3+1/7= 3.1428571

et les valeurs qu'on trouve si on fait un poly à 96 cotés sont:

3.1410319 et 3.1427145

De même on dit que la notation décimale n'existe pas à son époque, alors comment il a extrait les racines carrés ? En plus si la notation décimale n'existe pas, alors quel est l'interet d'encadrer pi entre 3+10/71 et 3+1/7 ?

ça commence à devenir un peu compliqué pour moi lol.

Le mieux serait de lire directement le traité d'Archimède.

Sinon sur wiki dans l'article de pi, il disent ça:

"Grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle entre deux suites polygones, dont le nombre de côtés double à chaque itération, Archimède obtint : 223 / 71 < π < 22 / 7 (3,1408... < π < 3,1428...), soit, dit de façon très anachronique, une précision de 2.10-3 et 2 décimales exactes"

Donc il a du avoir des erreurs de mesures sûrement à cause de moyens rudimentaires.

Après si je me souviens bien, on peut controler l'erreur de précision pour la méthode d'Héron pour extraire les racines carrées (et les babyloniens étaient en base 60 et ils arrivaient quand même à extraire des racines carrées).

invite095d3681 · 27/12/2007, 14h59

Le mieux serait de lire directement le traité d'Archimède.

Comment je peut lire le traité d'Archimède ? Connait tu un lien vers ce traité ?

Donc il a du avoir des erreurs de mesures sûrement à cause de moyens rudimentaires.

Les erreurs de mesure se font quand on fait un travail d'observation géométrique, pas si on procède algébriquement.

invite2cede1c8 · 27/12/2007, 15h16

Voilà un lien qui devrait aider :

http://www.clevislauzon.qc.ca/profes...S/Calculpi.pdf

inviteea6fd0dc · 27/12/2007, 15h31

Bonjour rhomuald,

Depuis le début tu dis circonférence, ce qui est parfaitement exact, et depuis le début je lis diamètre, ce qui est parfaitement faux

Bon faut que je stoppe les libations des fêtes

invite095d3681 · 27/12/2007, 17h20

Envoyé par Beverycool

Voilà un lien qui devrait aider :

http://www.clevislauzon.qc.ca/profes...S/Calculpi.pdf

La méthode utilisée par Archimède est aussi complexe que celle qui utilise la trigonométrie, j'ai du mal à croire qu'il a réelement trouver ça. De même, on dit qu'on a utilisé la valeur approché de 22/7 après lui, mais lui, il a encadré pi entre 223/71 et 22/7, et evidement 22/7 est la plus proche, mais on le savait pas, alors comment utilise-t-on apres lui 22/7 quand on croyaient que c'est la valeur par excès ? C'est quand même un encadrement !
Comment archimède extrait t-il les racines carrés sans écriture décimale ?

invite769a1844 · 27/12/2007, 17h31

Comment je peut lire le traité d'Archimède ? Connait tu un lien vers ce traité ?

Je ne sais pas si il est numérisé, mais il doit bien être quelque part.

invite2cede1c8 · 27/12/2007, 17h52

L'extraction des racines se faisait sans doute avec un algorithme de type " Héron" connu par les babyloniens qui ne nécessite pas d'écriture décimale et pour l'utilisation ultérieure de 22/7, je dirai que c'est parce que c'est la plus simple des 2 et non parce que c'est la meilleure.

invite2cede1c8 · 27/12/2007, 18h06

" De la mesure du cercle "

http://books.google.fr/books?id=1uRJ...A8de#PPA116,M1
p116

invite769a1844 · 27/12/2007, 18h57

Envoyé par Beverycool

" De la mesure du cercle "

http://books.google.fr/books?id=1uRJ...A8de#PPA116,M1
p116

merci BEverycool, j'avais cherché sur google scholar, mais je ne suis pas aussi doué que toi

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