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Archimède et pi



  1. #1
    Costian

    Archimède et pi

    Comment Archimède a-t-il fait exactement pour encadrer pi entre 3 + 10/71 et 3 + 1/7 ?

    -----


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  3. #2
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Il me semble que c'est comme ça:

    Tu encadres ton cercle à l'intérieur et à l'extérieur par un polygone régulier à 96 côtés.

    Tu calcules le périmètre de ces polygones, il y en a un qui aura pour périmètre 3 + 10/71 et l'autre 3 + 1/7.

  4. #3
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    j'oubliais un détail important, il faut prendre un cercle qui a pour circonférence (ie de rayon 1/2)

  5. #4
    Costian

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Il me semble que c'est comme ça:

    Tu encadres ton cercle à l'intérieur et à l'extérieur par un polygone régulier à 96 côtés.

    Tu calcules le périmètre de ces polygones, il y en a un qui aura pour périmètre 3 + 10/71 et l'autre 3 + 1/7.
    Oui, mais comment calculer le perimètre de ce polygone ?
    Il faut utiliser la formule sinus.

  6. #5
    invite431

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    j'oubliais un détail important, il faut prendre un cercle qui a pour circonférence (ie de rayon 1/2)
    Bonjour,

    J'avoue ne pas tout comprendre; il me faut prendre un cercle de rayon /2 alors que je ne connais pas ... puisque je le cherche ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par baguette Voir le message
    Bonjour,

    J'avoue ne pas tout comprendre; il me faut prendre un cercle de rayon /2 alors que je ne connais pas ... puisque je le cherche ?
    Tu le connais, là tu cherches à le calculer Pi, on le définit pas comme 3.14... mais comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre.

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  10. #7
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par Costian Voir le message
    Oui, mais comment calculer le perimètre de ce polygone ?
    Il faut utiliser la formule sinus.
    fais un dessin et regarde pour des polygones réguliers à 2 côtés, puis 3, puis 4, etc...

    A chaque fois tu peux prendre deux sommets consécutifs du polygone et faire un triangle isocèle avec comme troisième sommet le centre du cercle O.

    la base de ton triangle est alors une arete, pour calculer sa longueur il me semble que l'on peut se débrouiller sachant l'angle au sommet O et les deux autres côtés ce qui va surement donner ta formule avec le sinus (un triangle isocèle, c'est deux triangle rectangles). Après pour calculer le périmètre toutes les arretes sont égales vu que c'est un polygone régulier.

    Il me semble que ça marche comme ça, à voir.

  11. #8
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par baguette Voir le message
    Bonjour,

    J'avoue ne pas tout comprendre; il me faut prendre un cercle de rayon /2 alors que je ne connais pas ... puisque je le cherche ?
    et puis j'ai dit de prendre un cercle de rayon 1/2 pas pi/2.

  12. #9
    invite431

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    j'oubliais un détail important, il faut prendre un cercle qui a pour circonférence (ie de rayon 1/2)
    si la circonférence est , le rayon est /2, non ?
    Ou alors il faut peut être revoir ta phrase !

  13. #10
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par baguette Voir le message
    si la circonférence est , le rayon est /2, non ?
    Ou alors il faut peut être revoir ta phrase !
    Si je me souviens bien la circonférence d'un cercle de rayon r est .

    Si on veut que cette circonférence soit égale , alors on doit résoudre l'équation d'inconnue , qui a pour unique solution .

  14. #11
    zoup1

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par baguette Voir le message
    si la circonférence est , le rayon est /2, non ?
    Ou alors il faut peut être revoir ta phrase !
    si le rayon est la circonférence est
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  15. #12
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par zoup1 Voir le message
    si le rayon est la circonférence est
    non je ne crois pas, je dirai plutôt
    si le rayon est la circonférence est .

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  17. #13
    zoup1

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    non je ne crois pas, je dirai plutôt
    si le rayon est la circonférence est .
    Tu as tout a fait raison, mon clavier a fourché...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  18. #14
    Thibaut42

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par zoup1 Voir le message
    si le rayon est la circonférence est
    NON, c'est l'inverse !!!!

    On a:
    circonference = 2pi*r

    Si tu prend r=1/2, tu as bien circonference = pi

    EDIT: bon ben tu as vu ton erreur
    Je ne sais pas comment supprimer

  19. #15
    zoup1

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par Thibaut42 Voir le message
    EDIT: bon ben tu as vu ton erreur
    Je ne sais pas comment supprimer
    mea culpa...
    Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.

  20. #16
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par zoup1 Voir le message
    Tu as tout a fait raison, mon clavier a fourché...
    lol oui c'est ce que je pensais, ça me paraissait bizarre au vu de tes derniers posts que tu ne saches pas calculer la circonférence d'un cercle (c'est quand même plus abordable que la méthode de Runge Kutta, les équa diff, ... )

  21. #17
    Costian

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    fais un dessin et regarde pour des polygones réguliers à 2 côtés, puis 3, puis 4, etc...
    Y'a t-il un polygone à 2 cotés ??

    Bon, est ce que Archimède connaissait le sinus ? le cosinus ? la trigonométrie ?

    Il me semble après avoir visité plusieurs sites:
    Qu'il a pri d'abord un polygone à 6 cotés, puis il double à chaque fois le nombre des cotés, donc il a utilisé la formule sin(x/2) à partir de sin(x):
    sin(x/2) = sqrt((1-sqrt(1-sin^2(x)) * 1/2)
    Ceci demande une vaste connaissance en trigonométrie, ensuite si on veut utiliser cette formule, il faut extraire les racines carrés à la main.
    Et surtout prendre plusieurs chiffres après la virgule (7 chiffres).
    Est ce que Archimède connait tout ça ?!!! ???

  22. #18
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par Costian Voir le message
    Y'a t-il un polygone à 2 cotés ??

    Bon, est ce que Archimède connaissait le sinus ? le cosinus ? la trigonométrie ?

    Il me semble après avoir visité plusieurs sites:
    Qu'il a pri d'abord un polygone à 6 cotés, puis il double à chaque fois le nombre des cotés, donc il a utilisé la formule sin(x/2) à partir de sin(x):
    sin(x/2) = sqrt((1-sqrt(1-sin^2(x)) * 1/2)
    Ceci demande une vaste connaissance en trigonométrie, ensuite si on veut utiliser cette formule, il faut extraire les racines carrés à la main.
    Et surtout prendre plusieurs chiffres après la virgule (7 chiffres).
    Est ce que Archimède connait tout ça ?!!! ???
    Oui je ne sais pas si un segment est considéré comme un polygone, bref c'est un détail.

    Archimede devait connaitre la trigonométrie, Euclide a juste avant bien organisé tout ce qui est géométrie, et ces résultats devaient sûrement être découverts encore avant. Juste que c'était pas formalisé comme maintenant, mais l'idée reste la même. (C'est pour faire une reconstitution historique? ).

    Pour extraire les racines carrées à la main, ils savaient faire aussi déjà à l'époque de Babylone, je crois que ça s'appelle la méthode de Héron d'Alexandrie. Et oui ils étaient pas bêtes ces grecs, en plus n'oublions pas qu'Archimède était un grand génie.

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  24. #19
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    oui et pour les chiffres après les virgules, le concept de fractions est connue depuis les égyptiens je crois, pour approximer de manière juste.

    Je crois même qu'ils avaient une sorte de développement limité qui s'appelle les approximants de pandé ou les fractions continues, à voir.

  25. #20
    Costian

    Re : Archimède et pi

    Le problème c'est que si on inscrit et circonscrit un polygone à 96 cotés à l'interieur et à l'exterieur du cercle, on trouve pas les valeurs qu'Archimède a trouvé (3 + 10/71 et 3 + 1/7) mais des valeurs légerement différentes:
    3+10/71 = 3.1408450 ; 3+1/7= 3.1428571

    et les valeurs qu'on trouve si on fait un poly à 96 cotés sont:

    3.1410319 et 3.1427145


    De même on dit que la notation décimale n'existe pas à son époque, alors comment il a extrait les racines carrés ? En plus si la notation décimale n'existe pas, alors quel est l'interet d'encadrer pi entre 3+10/71 et 3+1/7 ?

  26. #21
    Costian

    Re : Archimède et pi

    Si on utilise la méthode d'Archimède et on extrait les racines à la main:
    On trouve d'abord une valeur de pi supérieure à pi, (c'est la valeur par defaut qui doit etre normalement inférieure à pi), et puis on s'approche de plus en plus de 3.141031 tout en augmentant les chiffres après la virgule des racines carrés.
    Mais d'où Archimède a-t-il trouvé cet encadrement ?

  27. #22
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par Costian Voir le message
    Le problème c'est que si on inscrit et circonscrit un polygone à 96 cotés à l'interieur et à l'exterieur du cercle, on trouve pas les valeurs qu'Archimède a trouvé (3 + 10/71 et 3 + 1/7) mais des valeurs légerement différentes:
    3+10/71 = 3.1408450 ; 3+1/7= 3.1428571

    et les valeurs qu'on trouve si on fait un poly à 96 cotés sont:

    3.1410319 et 3.1427145


    De même on dit que la notation décimale n'existe pas à son époque, alors comment il a extrait les racines carrés ? En plus si la notation décimale n'existe pas, alors quel est l'interet d'encadrer pi entre 3+10/71 et 3+1/7 ?
    ça commence à devenir un peu compliqué pour moi lol.

    Le mieux serait de lire directement le traité d'Archimède.

    Sinon sur wiki dans l'article de pi, il disent ça:

    "Grâce à une méthode consistant à encadrer un cercle entre deux suites polygones, dont le nombre de côtés double à chaque itération, Archimède obtint : 223 / 71 < π < 22 / 7 (3,1408... < π < 3,1428...), soit, dit de façon très anachronique, une précision de 2.10-3 et 2 décimales exactes"

    Donc il a du avoir des erreurs de mesures sûrement à cause de moyens rudimentaires.

    Après si je me souviens bien, on peut controler l'erreur de précision pour la méthode d'Héron pour extraire les racines carrées (et les babyloniens étaient en base 60 et ils arrivaient quand même à extraire des racines carrées).

  28. #23
    Costian

    Re : Archimède et pi

    Le mieux serait de lire directement le traité d'Archimède.
    Comment je peut lire le traité d'Archimède ? Connait tu un lien vers ce traité ?
    Donc il a du avoir des erreurs de mesures sûrement à cause de moyens rudimentaires.
    Les erreurs de mesure se font quand on fait un travail d'observation géométrique, pas si on procède algébriquement.

  29. #24
    Beverycool

    Re : Archimède et pi

    Voilà un lien qui devrait aider :

    http://www.clevislauzon.qc.ca/profes...S/Calculpi.pdf

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  31. #25
    invite431

    Re : Archimède et pi

    Bonjour rhomuald,

    Depuis le début tu dis circonférence, ce qui est parfaitement exact, et depuis le début je lis diamètre, ce qui est parfaitement faux

    Bon faut que je stoppe les libations des fêtes

  32. #26
    Costian

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par Beverycool Voir le message

    La méthode utilisée par Archimède est aussi complexe que celle qui utilise la trigonométrie, j'ai du mal à croire qu'il a réelement trouver ça. De même, on dit qu'on a utilisé la valeur approché de 22/7 après lui, mais lui, il a encadré pi entre 223/71 et 22/7, et evidement 22/7 est la plus proche, mais on le savait pas, alors comment utilise-t-on apres lui 22/7 quand on croyaient que c'est la valeur par excès ? C'est quand même un encadrement !
    Comment archimède extrait t-il les racines carrés sans écriture décimale ?

  33. #27
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Comment je peut lire le traité d'Archimède ? Connait tu un lien vers ce traité ?
    Je ne sais pas si il est numérisé, mais il doit bien être quelque part.

  34. #28
    Beverycool

    Re : Archimède et pi

    L'extraction des racines se faisait sans doute avec un algorithme de type " Héron" connu par les babyloniens qui ne nécessite pas d'écriture décimale et pour l'utilisation ultérieure de 22/7, je dirai que c'est parce que c'est la plus simple des 2 et non parce que c'est la meilleure.

  35. #29
    Beverycool

    Re : Archimède et pi


  36. #30
    rhomuald

    Re : Archimède et pi

    Citation Envoyé par Beverycool Voir le message
    merci BEverycool, j'avais cherché sur google scholar, mais je ne suis pas aussi doué que toi

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