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problème de topo



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    problème de topo

    bonjour, j´ai un exercice de topo qui m´intrigue, car la solution proposée me parait en contradiction avec une théorème. Il s´agit de la chose suivante:

    on muni le sous-ensemble X = [0,1] U [2,4[ de la topologie induite de R, i.e. celle définie par la distance usuelle.

    Dans la première partie de l´exo, il s´agit de prouver que d´une part [0,1] et d´autre part [2,4[ sont à la fois ouverts et fermés dans X. C´est facile car ils sont chacun l´intersection l´intersection de X et d´une boule ouverte ou fermée de R. Donc [0,1] et [2,4[ sont ouvert et fermé dans X.

    Dans la deuxième partie, on demande si la suite un = 4 - 3-n converge dans X. La réponse donnée dans la correction est: non car vu que X et R sont métriques, donc séparés, la limite est unique, or si la suite convergeait vers une limite L de X, elle convergerait aussi vers la même limite dans R, alors qu´elle converge vers 4 dans R.

    D´un côté je comprend cette explication, d´un autre elle me semble contredire un théorème que j´ai lu sur les fermés d´un espace topologique métrique:

    F est fermé si et seulement si toute suite de points de F a sa limite dans F. La suite décrite est effectivement dans [2,4[, mais pas sa suite, alors que j´ai prouvé que [2,4[ est fermé.

    bizarre non?

    merci d´avance de vos suggestions de fin d´année, sinon ben euh... bonne année.

    Christophe

    -----


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  3. #2
    rhomuald

    Re : problème de topo

    Bonjour, tu as du mal lire ce serait plutôt:

    F est fermé si et seulement si toute suite de points convergente de F a sa limite dans F.

  4. #3
    Sylvestre

    Re : problème de topo

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    F est fermé si et seulement si toute suite de points de F a sa limite dans F.
    Salut,

    Je ne sais pas d'où tu sors ce théorème, mais il est manifestement faux.
    Peut-être confonds-tu "fermé" avec "compact" ?
    Programming is understanding

  5. #4
    rajamia

    Re : problème de topo

    salut

    Citation Envoyé par Sylvestre Voir le message
    Salut,

    Je ne sais pas d'où tu sors ce théorème, mais il est manifestement faux.
    Peut-être confonds-tu "fermé" avec "compact" ?
    ce résultat existe un ensemble est fermé ssi toute suite convergent à valeurs dans F, y ait la limite.

    alors qu'un compact est un ensemble fermé et borné.

  6. #5
    rhomuald

    Re : problème de topo

    mais il me semble par contre que ça ne se généralise pas pour les espaces topologiques. Cependant ça reste vrai tant qu'on reste dans un espace qui admet une base locale dénombrable de voisinages ouverts en chacun de ses points, comme par exemple les espace métriques.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Sylvestre

    Re : problème de topo

    Citation Envoyé par rajamia Voir le message

    ce résultat existe un ensemble est fermé ssi toute suite convergent à valeurs dans F, y ait la limite.
    Manifestement, l'exemple de l'auteur de ce fil montre que c'est faux en général.

    alors qu'un compact est un ensemble fermé et borné.
    Cela est vrai dans R^n, mais pas dans tout espace topologique.
    Programming is understanding

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  10. #7
    rhomuald

    Re : problème de topo

    Manifestement, l'exemple de l'auteur de ce fil montre que c'est faux en général.
    Je ne suis pas d'accord, l'exemple de l'auteur de ce fil ne contredit pas cette caractérisation séquentielle des fermés qui est bien entendu vraie dans les espaces métriques.

  11. #8
    rhomuald

    Re : problème de topo

    le souci en fait dans son exemple provient essentiellement du fait que X même muni de la topo induite de IR, n'as pas hérité de la complétude de IR.

  12. #9
    Sylvestre

    Re : problème de topo

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    Je ne suis pas d'accord, l'exemple de l'auteur de ce fil ne contredit pas cette caractérisation séquentielle des fermés qui est bien entendu vraie dans les espaces métriques.
    Son exemple, est un espace métrique, pourtant il y a trouvé une suite qui ne converge pas.
    Programming is understanding

  13. #10
    rhomuald

    Re : problème de topo

    Citation Envoyé par Sylvestre Voir le message
    Son exemple, est un espace métrique, pourtant il y a trouvé une suite qui ne converge pas.

    F est fermé si et seulement si toute suite de points convergente de F a sa limite dans F.

    Ceci ne dit pas que dans un fermé toutes les suites doivent être convergente.

    Peut être que le quiproquo vient du fait que rajamia s'est légèrement mal exprimé.

  14. #11
    christophe_de_Berlin

    Re : problème de topo

    oui, pardon, après vérification, j´ai fait effectivement l´erreur, j´ai mal employé ce théorème, effectiivement, il faut lire:

    Dans un espace métrique, F est fermé ssi toute suite convergente de points de F a sa limite dans F.

    Dans l´exemple que j´ai donné, effectivement, ma suite ne converge pas dans X, sa limite ne peut donc être dans F.

    Pardon... et merci de vos nombreuses réponses.

  15. #12
    rhomuald

    Re : problème de topo

    Citation Envoyé par christophe_de_Berlin Voir le message
    oui, pardon, après vérification, j´ai fait effectivement l´erreur, j´ai mal employé ce théorème, effectiivement, il faut lire:

    Dans un espace métrique, F est fermé ssi toute suite convergente de points de F a sa limite dans F.

    Dans l´exemple que j´ai donné, effectivement, ma suite ne converge pas dans X, sa limite ne peut donc être dans F.

    Pardon... et merci de vos nombreuses réponses.
    oui et en fait tu viens d'exhiber une suite de Cauchy de X qui ne converge pas dans X, et donc tu viens de montrer que X n'est pas complet.

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  17. #13
    shynoa

    Re : problème de topo

    en fait [2,4[ est fermé dans X, mais pas dans lR.
    quand tu dis que ta suite converge, c'est dans lR, pas dans X.

  18. #14
    robson

    Re : problème de topo

    j'ajoutourerai aussi que F est fermé ssi il est complémentaire d'un ouvert dans R

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