bonjour, j´ai un exercice de topo qui m´intrigue, car la solution proposée me parait en contradiction avec une théorème. Il s´agit de la chose suivante:
on muni le sous-ensemble X = [0,1] U [2,4[ de la topologie induite de R, i.e. celle définie par la distance usuelle.
Dans la première partie de l´exo, il s´agit de prouver que d´une part [0,1] et d´autre part [2,4[ sont à la fois ouverts et fermés dans X. C´est facile car ils sont chacun l´intersection l´intersection de X et d´une boule ouverte ou fermée de R. Donc [0,1] et [2,4[ sont ouvert et fermé dans X.
Dans la deuxième partie, on demande si la suite un = 4 - 3-n converge dans X. La réponse donnée dans la correction est: non car vu que X et R sont métriques, donc séparés, la limite est unique, or si la suite convergeait vers une limite L de X, elle convergerait aussi vers la même limite dans R, alors qu´elle converge vers 4 dans R.
D´un côté je comprend cette explication, d´un autre elle me semble contredire un théorème que j´ai lu sur les fermés d´un espace topologique métrique:
F est fermé si et seulement si toute suite de points de F a sa limite dans F. La suite décrite est effectivement dans [2,4[, mais pas sa suite, alors que j´ai prouvé que [2,4[ est fermé.
bizarre non?
merci d´avance de vos suggestions de fin d´année, sinon ben euh... bonne année.
Christophe
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Envoyé par christophe_de_Berlin 
et merci de vos nombreuses réponses.
