Calcul integral

[mehdi_128]

Calcul intégral par la méthode des résidus

Rebonjour,je rebloque sur une autre intégrale ,ca serait sympa de me reaider:




Voila je vois pas comment partir ....

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[invitebfbf094d]

Je vais donner une indication sans aucune certitude. J'injecte , et j'obtiens deux intégrales :



Etudions la deuxième intégrale. Si l'on pose x = - u, elle s'écrira :



On sait que le nom de la variable dans cette dernière intégrale ne changera pas la valeur de l'intégrale, et donc elle pourra s'écrire : .

Maintenant, on voit que W peut s'écrire :

.

Je n'ai pas cherché plus loin. Peut-être écrire W en deux intégrales avec le premier qui contient x²e^(ix) et le deuxième contenant ae^(ix), et calculer séparément les résidus de chaque intégrale.

[invitebfbf094d]

Je n'ai pas précisé qu'on étudiera la fonction sous l'intégrale en remplacant x par z, c'est-à-dire en étudiant la fonction (z²-a).e^(iz) / z(z²+a) et chercher ainsi ses pôles.

Rajout : j'ai oublié le facteur i au dénominateur dans l'intégrale, du fait que sinx =(e^(ix) - e^(-ix))/2i

[mehdi_128]

Je n'ai pas précisé qu'on étudiera la fonction sous l'intégrale en remplacant x par z, c'est-à-dire en étudiant la fonction (z²-a).e^(iz) / z(z²+a) et chercher ainsi ses pôles.

Rajout : j'ai oublié le facteur i au dénominateur dans l'intégrale, du fait que sinx =(e^(ix) - e^(-ix))/2i

Je pensais utiliser un théorème qui dit que pour tout pole tel que Im(pole)>0 alors:


Integralef(x).exp(ix)=2.iPi.So mme des résidus (f(z)exp(iz),poles)

mais 0 est pole donc n'y at-il pas un pb ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

0 n'est pas un pole dans l'expression initial, tu peut donc facilement le faire disparaitre en ajoutant un +1/x à la forme exponentielle qui ne joue aucun role sur la partie imaginaire.

[mehdi_128]

0 n'est pas un pole dans l'expression initial, tu peut donc facilement le faire disparaitre en ajoutant un +1/x à la forme exponentielle qui ne joue aucun role sur la partie imaginaire.

Euh pour moi 0 est pole dans l'expression initiale ,on voit bien il y a du x au denominateur ?

Sinon j'ai pas compris la deuxieme partie de ta phrase ........

[mehdi_128]

si

[invite4ef352d8]

non 0 n'est pas un pole dasn l'expression initial, il y a un x au dénominateur, mais un sinus au numérateur, et sin(x)/x est parfaitement holomorphe en 0.


l'idée est donc au lieux décrire sin(x) =Im(exp(ix)) ce qui transformerait 0 en pole car exp(ix)/x a bien un pole en 0. tu ecrit sin(x)=Im(exp(ix)-1) et ainsi tu n'as pas de pole en 0 !

[mehdi_128]

non 0 n'est pas un pole dasn l'expression initial, il y a un x au dénominateur, mais un sinus au numérateur, et sin(x)/x est parfaitement holomorphe en 0.


l'idée est donc au lieux décrire sin(x) =Im(exp(ix)) ce qui transformerait 0 en pole car exp(ix)/x a bien un pole en 0. tu ecrit sin(x)=Im(exp(ix)-1) et ainsi tu n'as pas de pole en 0 !

Ah Ok bien vu cette astuce ....