Série harmonique

[invite21fee155]

Voila j'ai un petit blocage sur une question dans cet exercice.

La série harmonique est la suite (Hn) définie par Hn=[1,n] 1/k

1.a)Montrer que pour tout réel x positif , on a x/x+1<ln(1+x)<x . On pourra étudier les variations de deux fonctions bien choisies.

1.b) En déduire que pour tout entier k naturel positif, 1/k+1<ln(k+1)-ln k<1/k

2. Montrer que pour tout n naturel positif , Hn>ln(n+1)

3. Montrer que Hn est équivalent à ln n . Rappel: Hn équivalent à ln n équivaut à lim Hn/ln(n)=1 . Ici je suis arrivée au final à montrer que ln(n) + 1/nHn1+ln(n)

4)On définit la suite (un) par un=Hn-ln

a) Montrer que pour tout k naturel non nul, (1/k+1) - (1/k)<uk+1-uk<0

b) En déduire l'encadrement : pour tout n naturel non nul, 0un1.

Ici j'y suis arrivée mais en utilisant ce que j'avais démontré pour l'équivalence entre Hn et ln(n), donc je suppose qu'il faut faire autrement mais je ne vois pas, une idée?

c)Montrer que un est convergente

Et la je n'y arrive plus du tout!

Merci beaucoup pour votre aide!
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[inviteca111a08]

j'ai pas bien compris la définition de la suite h_n mais j'ai travaillé avec h(n)=sommation(1/k) avec k appartient [1,n]


pour 3)
h_n-1 < ln(n) < h_n-1
aprés des quelques lignes tu auras 1-(1/h_n) < ln(n)/h_n <h_n-1/h_n
=> h_n/ln(n) >1 lorsque n tend vers l'infini
d'autre part on obtient h_n/ln(n) <(1/ln(n)) +1
=> h_n/ln(n) <1 lorsque n tend vers l'infini

Pour la dernière question je crois qu'il suggit d'utiliser la définition de la convergeance