Mesure et intégration

invite769a1844 · 03/01/2008, 01h40

Bonsoir,

je bloque sur cet exercice:

Soit $\text{[math]}$ un ensemble mesurable de $\text{[math]}$ -mesure finie et soit $\text{[math]}$ une suite de fonctions réelles intégrables sur $\text{[math]}$ et convergeant uniformément sur $\text{[math]}$ vers une fonction $\text{[math]}$ .

Montrer que $\text{[math]}$ est intégrable sur $\text{[math]}$ et que

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Je ne vois pas comment montrer que f est intégrable.

J'ai l'impression que cette proposition pourrait me servir:

Soit $\text{[math]}$ une suite décroissante de fonctions positives intégrables sur $\text{[math]}$ (à valeurs dans $\text{[math]}$ ).

Alors cette suite de fonctions tend simplement sur $\text{[math]}$ vers une fonction positive $\text{[math]}$ et cette fonction f est intégrable sur $\text{[math]}$ avec:

$\text{[math]}$

car l'hypothèse que f est limite uniforme des fonctions intégrables me permet de dire que:

f est limite simple de $\text{[math]}$ et du fait que:

$\text{[math]}$

Mais avec, après quelques bricolages, j'arrive seulement à montrer que |f| est intégrable.

D'autre part ce cours d'intégration suit un schéma assez original:

Je ne dispose pas du résultat "f est mesurable car limite de fonctions mesurables sur A" (et je ne pense pas que le prof attend qu'on le montre pour cet exercice).

Autres bizarreries:

Les fonctions mesurables sont définies après les fonctions intégrables,

définition:

une fonction $\text{[math]}$ définie $\text{[math]}$ -pp sur $\text{[math]}$ à valeurs dans $\text{[math]}$ est mesurable si il existe une suite $\text{[math]}$ de fonctions en escaliers tendant $\text{[math]}$ -pp sur $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ .

les ensembles mesurables sont définies à partir des fonctions mesurables (après des résultats genre Fubini).

Je suis totalement dérouté.

Ca a pas l'air vraiment commun comme plan de cours.

Merci pour vos indications.

invite769a1844 · 03/01/2008, 01h46

J'oubliais de préciser que dans la correction le prof utilise le fait qu'il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ quelque soit $\text{[math]}$ , mais je vois pas pourquoi la suite des $\text{[math]}$ est majorée dans $\text{[math]}$ .

**mehdi_128** · 03/01/2008, 01h47

Envoyé par rhomuald

Bonsoir,

je bloque sur cet exercice:

Soit $\text{[math]}$ un ensemble mesurable de $\text{[math]}$ -mesure finie et soit $\text{[math]}$ une suite de fonctions réelles intégrables sur $\text{[math]}$ et convergeant uniformément sur $\text{[math]}$ vers une fonction $\text{[math]}$ .

Montrer que $\text{[math]}$ est intégrable sur $\text{[math]}$ et que

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Je ne vois pas comment montrer que f est intégrable.

J'ai l'impression que cette proposition pourrait me servir:

car l'hypothèse que f est limite uniforme des fonctions intégrables me permet de dire que:

f est limite simple de $\text{[math]}$ et du fait que:

$\text{[math]}$

Mais avec, après quelques bricolages, j'arrive seulement à montrer que |f| est intégrable.

D'autre part ce cours d'intégration suit un schéma assez original:

Je ne dispose pas du résultat "f est mesurable car limite de fonctions mesurables sur A" (et je ne pense pas que le prof attend qu'on le montre pour cet exercice).

Autres bizarreries:

Les fonctions mesurables sont définies après les fonctions intégrables,

définition:

une fonction $\text{[math]}$ définie $\text{[math]}$ -pp sur $\text{[math]}$ à valeurs dans $\text{[math]}$ est mesurable si il existe une suite $\text{[math]}$ de fonctions en escaliers tendant $\text{[math]}$ -pp sur $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ .

les ensembles mesurables sont définies à partir des fonctions mesurables (après des résultats genre Fubini).

Je suis totalement dérouté.

Ca a pas l'air vraiment commun comme plan de cours.

Merci pour vos indications.

salut géniedesalpages

invite769a1844 · 03/01/2008, 01h50

Envoyé par mehdi_128

salut géniedesalpages

salut (tu veux bien me rappeler le pseudo où je te reconnais un peu plus?)

oublie ma question, tu t'appelles pareil sur les deux forums mdr

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 03/01/2008, 01h54

Envoyé par rhomuald

salut (tu veux bien me rappeler le pseudo où je te reconnais un peu plus?)

oublie ma question, tu t'appelles pareil sur les deux forums mdr

on a un point commun

invitea07f6506 · 03/01/2008, 01h56

Envoyé par rhomuald

J'oubliais de préciser que dans la correction le prof utilise le fait qu'il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ quelque soit $\text{[math]}$ , mais je vois pas pourquoi la suite des $\text{[math]}$ est majorée dans $\text{[math]}$ .

Repart de la définition de convergence uniforme et amuse-toi avec les petits epsilons

(en fait, il suffit de prendre un epsilon arbitraire, un n tel que pour tout k>n etc. ; A étant de mesure finie, tout se passe bien)

invite769a1844 · 03/01/2008, 01h59

Envoyé par mehdi_128

on a un point commun

lol, oui enfin on est pas les seuls à être inscrit sur ces deux forums.
Il y a barbu et ThsQ aussi (et peut-être d'autres).

Enfin je mise un peu sur ce forum vu que Romain-des-Bois qui est un habitué est un collègue sérieux de ma promo, et il a du venir un peu plus souvent que moi en cours (non pas que je suis pas sérieux, mais je suis employé à la poste et je ne peux pas être très assidu en cours, bon après c'est vrai que je ne suis pas très sérieux

). Donc voilà je garde espoir; lol.

invite769a1844 · 03/01/2008, 02h01

Envoyé par Garf

Repart de la définition de convergence uniforme et amuse-toi avec les petits epsilons

(en fait, il suffit de prendre un epsilon arbitraire, un n tel que pour tout k>n etc. ; A étant de mesure finie, tout se passe bien)

Bonsoir Garf, merci je regarde ça tout de suite

invite769a1844 · 03/01/2008, 02h37

Bon je vois pas vraiment comment procéder, a priori la convergence uniforme me donne des informations sur |f_n-f|, mais je ne vois pas ce que ça peut me donner sur |f_n| (surtout sans savoir si f est bornée ou des hypothèses du genre) là je suis un peu perdu

invitea07f6506 · 03/01/2008, 02h53

Ben, lf_nl est intégrable, c'est dans tes hypothèses...

invite769a1844 · 03/01/2008, 02h54

Voilà ce que je vois pour l'instant:

Je me fixe $\text{[math]}$ .

Par définition de la convergence uniforme, il existe $\text{[math]}$ tel que:

$\text{[math]}$

.

Et là je dois trouver $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , on ait

$\text{[math]}$

.

Ce qui me pose problème, c'est comment majorer la famille $\text{[math]}$ ?

invite769a1844 · 03/01/2008, 02h59

Envoyé par Garf

Ben, lf_nl est intégrable, c'est dans tes hypothèses...

ok mais si je prends $\text{[math]}$ par exemple, on a bien de $\text{[math]}$ intégrable, mais $\text{[math]}$ n'est pas majorée dans $\text{[math]}$ .

Edit: donc ce serait apparemment le fait que A a une $\text{[math]}$ mesure finie qui jouerait plutôt, mais je vois pas comment jongler avec cette donnée dans mon raisonnement.

invite769a1844 · 03/01/2008, 03h13

Une autre question que je me pose aussi (due sûrement à une lacune au niveau de la distance sup):

je prends par exemple $\text{[math]}$ (ie A=[0,1] de mesure finie). Chaque $\text{[math]}$ est intégrable.

Est-ce qu'on peut dire qu'elle converge uniformément vers $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ (par rapport à la topologie de l'ordre qu'on associe usuellement à $\text{[math]}$ ), et comment affirmer qu'elle ne converge pas uniformément dans $\text{[math]}$ ?

invite769a1844 · 03/01/2008, 11h19

Envoyé par rhomuald

Voilà ce que je vois pour l'instant:

Je me fixe $\text{[math]}$ .

Par définition de la convergence uniforme, il existe $\text{[math]}$ tel que:

$\text{[math]}$

.

Et là je dois trouver $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , on ait

$\text{[math]}$

.

Ce qui me pose problème, c'est comment majorer la famille $\text{[math]}$ ?

Bonjour, je bloque toujours sur ce problème et je ne comprends toujours pas pourquoi |fn| intégrable résoud le problème, je pensais que cette hypothèse était essentiellement là pour pouvoir travailer avec les réels $\text{[math]}$ , mais je ne vois pas en quoii ça peut les majorer.

Merci pour votre aide.

invite769a1844 · 03/01/2008, 11h38

Avec la convergence uniforme, j'arrive plutôt à montrer que:

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

et aussi que |f| est intégrable (mais j'arrive pas à utiliser ce résultat pour montrer que f est intégrable).

Mais pour la majoration $\text{[math]}$ je ne vois pas.

invitea07f6506 · 03/01/2008, 11h39

Soit N>0 tel que $\text{[math]}$

Soit n>N. Soit x dans A. $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Il suffit de prendre $\text{[math]}$

invite769a1844 · 03/01/2008, 11h44

Envoyé par Garf

Soit N>0 tel que $\text{[math]}$

Soit n>N. Soit x dans A. $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Il suffit de prendre $\text{[math]}$

ah d'accord merci Garf, en fait f est supposée finie dans l'énoncé comme les $\text{[math]}$ , c'est bien ça?

**invite35452583** · 03/01/2008, 12h00

A majorer $\text{[math]}$ indépendamment de n.
Il existe N tel que pour m>N-1, on a lf_m-f_Nl<1. On a alors pour m>N-1, lf_ml<lf_Nl+1 ce qui permet de les majorer toutes sauf un nomre fini (f_m, m allant de 1 à N-1). Il n'est pas dificile de terminer.

invite769a1844 · 03/01/2008, 12h05

Envoyé par homotopie

A majorer $\text{[math]}$ indépendamment de n.
Il existe N tel que pour m>N-1, on a lf_m-f_Nl<1. On a alors pour m>N-1, lf_ml<lf_Nl+1 ce qui permet de les majorer toutes sauf un nomre fini (f_m, m allant de 1 à N-1). Il n'est pas dificile de terminer.

Merci Homotopie, donc tu peux carrément majorer les $\text{[math]}$ et pas seulement l'intégrale, c'est bien ça? et du coup je peux appliquer le théorème de convergence dominée pour montrer que f est intégrable? (je comprends pas du tout la correction du prof, il dit que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , mais l'énoncé de l'exo dit qu'elles seulement réelles pas forcément positives

)

inviteaeeb6d8b · 03/01/2008, 12h08

Salut !

et bonne année

Tu peux toujours dire fn = fn⁺ - fn^-
où les deux composantes sont positives

C'était ma petite remarque inutile

invite769a1844 · 03/01/2008, 12h12

Envoyé par Romain-des-Bois

Salut !

et bonne année

Tu peux toujours dire fn = fn⁺ - fn^-
où les deux composantes sont positives

C'était ma petite remarque inutile

Bonne année !

Ptet pas si inutile que ç, du moins je vais regarder dans cette direction, merci romain.

invite769a1844 · 03/01/2008, 12h15

lol, je suis pas réveillé.

Mais il me semble que j'ai toutes les hypothèses pour appliquer le théorème de la convergence dominée.

Et du coup je peux conclure, non?

Mesure et intégration

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Re : mesure et intégration

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