Bonsoir,
je bloque sur cet exercice:
Soitun ensemble mesurable de
-mesure finie et soit
une suite de fonctions réelles intégrables sur
et convergeant uniformément sur
vers une fonction
.
Montrer queest intégrable sur
et que
et
Je ne vois pas comment montrer que f est intégrable.
J'ai l'impression que cette proposition pourrait me servir:
car l'hypothèse que f est limite uniforme des fonctions intégrables me permet de dire que:Soitune suite décroissante de fonctions positives intégrables sur
(à valeurs dans
).
Alors cette suite de fonctions tend simplement survers une fonction positive
et cette fonction f est intégrable sur
avec:
f est limite simple deet du fait que:
Mais avec, après quelques bricolages, j'arrive seulement à montrer que |f| est intégrable.
D'autre part ce cours d'intégration suit un schéma assez original:
Je ne dispose pas du résultat "f est mesurable car limite de fonctions mesurables sur A" (et je ne pense pas que le prof attend qu'on le montre pour cet exercice).
Autres bizarreries:
Les fonctions mesurables sont définies après les fonctions intégrables,
définition:
une fonctiondéfinie
-pp sur
à valeurs dans
est mesurable si il existe une suite
de fonctions en escaliers tendant
-pp sur
vers
.
les ensembles mesurables sont définies à partir des fonctions mesurables (après des résultats genre Fubini).
Je suis totalement dérouté.
Ca a pas l'air vraiment commun comme plan de cours.
Merci pour vos indications.
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