Question en mesure et intégration

[invite3f5489ea]

Bonjour ,
depuis plusieurs jours , j'essaie de résoudre une question d'un devoir libre par plusieurs manières.
J'ai peut ètre la ou les bonnes idées de pistes mais alors dans ce cas je n'arrive pas à prouver ce que je veux ensuite.
voici l'ennoncé:
Soit L2(R) l'ensemble des fonctions dont le carré est intégrable

(f,g) =
et
N2(f)=

Soit l une forme linéiare continue non identiquement nulle dans L2(R).
Soit une suite d'elements gk de L2(R) tels que :
N2(gk)=1 et lim l(gk) = sup{ |l(f)| tel que N2(f)=1} = N(l)

Montrer qu'il existe une limite g de la suite (gk) et g est dans L2(R)

Si quelqu'un a des idées à me donner pour résoudre cette question,qu'il m'en fasse part.
Merci d'avance.
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[invite3f5489ea]

Personne ne peut m'aider ?

[invite986312212]

salut,

est-ce que ça n'est pas faux? si gk converge vers un g, et si tu définis hk par hk=gk pour k pair et hk= -gk pour k impair, la suite hk va vérifier la condition mais ne convergera pas.
Peut-être qu'il faut abandonner la valeur absolue dans la définition de N(l) ?

[invite35452583]

salut,

est-ce que ça n'est pas faux? si gk converge vers un g, et si tu définis hk par hk=gk pour k pair et hk= -gk pour k impair, la suite hk va vérifier la condition mais ne convergera pas.
Peut-être qu'il faut abandonner la valeur absolue dans la définition de N(l) ?

Je ne sais pas par quel bout exactement il faut prendre le problème mais ton obstruction n'est pas valide. En effet, l(hk)=-l(gk) pour k impair va converger vers -N(l) et non N(l). C'est l(gk) qui converge et non abs(l(gk)).

Géométriquement le résultat se comprend :
comme L2(R) est muni d'un produit scalaire on peut projeter orthogonalement sur le sous-espace de codimension 1 fermé qu'est le noyau de l et sur la droite vectorielle orthogonale à ce sous-espace. On a gk=vk+wk.
1=llgkll²=llvkll²+llwkll² l(gk)=l(wk). Il reste à montrer que vk tend vers 0, wk tend vers un des deux vecteurs unitaires portés par la droite ci-avant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Je ne sais pas par quel bout exactement il faut prendre le problème.

Je devrais me relire plus attentivement, non ?