Problème de racines et de factorisation

[rajamia]

re-salut.

j'ai un exercice qui me gène depuis bcp de temps.

j'ai un polynôme j'ai cherché ses racines j'ai trouvé lorsque j'essaye de factoriser en utilisant ces racines je n'arrivais pas,

à signalé que:

1- je travaille dans l'anneau et un élément primitif vérifiant càd comme ça on peut tirer tous les autres .
2-on n'a pas le droit de faire mais on a la relation suivante ou est un automorphisme de frobenius définit sur le corps par .

merci à vous, j'en ai besoin j'ai bcp à faire comme ce cas la . J'attends vos interventions
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[rajamia]

j'attendrai à ce que les algébristes nous rejoignent

[rajamia]

salut

toujours aucune aide!!!!!!!

je tiens à re-signaler que vérifie (faute de frappe pas plus).

allez les algébristes je vous attends

[rajamia]

merci quand même très très déçue

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Bonsoir,

Tu es très gentille tu sais, mais les gens ici ne sont pas des fournisseurs de réponse à la minute. Ça fait deux discussions que tu as lancées il y a moins de 24h et à chaque fois tu te dis très très déçue que personne n'ait encore répondu ; laisse le temps aux gens de lire ta question, d'y trouver une réponse intéressesante, de respirer un bon coup !

[rajamia]

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[invited749d0b6]

Soit P un polynôme en x:P=a_nx^n+...a_1x+a_0
Si b est racine, pour écrire P=(x-b)Q(x) dans la cas commutatif, on fait la division euclidienne par (x-b) et on montre que le reste est nul. Mais dans le cas non commutatif, on ne peut faire de division euclidienne il me semble. En effet
Première étape (dans le cas commutatif):
P=(x-b)a_n x^{n-1} + R(x) avec R(x)=(a_{n-1}+b a_n)x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2}+...
Puis on recommence avec le polynome R(x) et ainsi de suite.
Mais dans le cas non commutatif,
(x-b)a_n x ^{n-1}=x a_n x^{n-1} -b a_n différent de a_n x^n -b a_n.
Car a_n et x ne commute pas forcément.
Donc on ne peut faire la division euclidienne.

[rajamia]

d'abord je tiens à te remercie pour ton intervention.

Mais dans le cas non commutatif, on ne peut faire de division euclidienne il me semble.
Car a_n et x ne commute pas forcément.
Donc on ne peut faire la division euclidienne.

dans le cas non commutatif la division Euclidienne existe et on parle dans ce cas de la division à gauche et de la division à droite, et d'un diviseur à gauche et d'un diviseur à droite.

du fait que je n'ai jamais eu l'algèbre non commutatif comme cours durant mes études antérieurs et le manque des documentations sur le net (rares et assez compliquées ) me rende incapable pour traiter ces genres de choses. je ne sais pas mêmes si les autres propriétés restent valables à savoir la propriété qui me gène ici "si est une racine de est ce que dans ce cas la divise "soit à droite soit à gauche soit à ....

je vais me suffire de ces phrases je ne veux pas rendre la situation plus compliquée pour avoir plus des intervenants

[invited749d0b6]

Ou est mon erreur de raisonnement ?
Je veux bien croire que sur un anneau ou un corps non commutatif A, on ait une division euclidienne a droite ou a gauche sur A[X]. Mais si X lui-meme ne commute pas avec les elements de A c'est autre chose, on n'est plus vraiment dans l'anneau des polynomes A[X].

[rajamia]

re-salut.

si tu as bien lis mon premier post j'avais dis que l'anneau en question n'est pas commutatif tous les polynômes ont les coefficient s'écrivent à gauche de la variable donc si dans les calcules on rencontre alors pour rendre le coefficient à gauche de l'indéterminé il suffit d'appliquer l'automorphisme de Frobenius .

pour l'erreur t'as pas commis aucune erreur mais juste tu affirmais qu'il n y a pas de division euclidienne dans le cas non commutatif alors que moi j'ai répondu par non ça existe c'est tt.

[invited749d0b6]

OK, j'ai compris.
Soit ,1 est solution de P(X). Mais si on fait la division euclidienne à gauche par (X-1), on aurait

Donc et
Donc
Donc P(X) pas divisible a gauche par (X-1).

[invited749d0b6]

En fait, X ne peut etre à la fois indéterminée non commutative et à la fois prendre des valeurs comme 1 qui ne vérifie pas pour X=1,

[rajamia]

exactement.

alors je me suis demandés s' il y a une autre méthode pour factoriser .sur net y a rien à la bibliothèque de la fac c'est pire.

j'ai perdu les pédales. je pose mon stylo et peut être je ferme aussi mon ordi

[invite35452583]

Les polynômes sur un anneau sont des suites (a₀,a₁,..,a_n,...) à support fini (les an sont nuls à partir d'un certain rang).
Une somme y est définie : (a₀,a₁,...)+(b₀,b₁,...)=(a₀+a₁, b₀+b₁,...)
Un produit y est défini : (a₀,a₁,...)+(b₀,b₁,...)=(a₀.b₀, a₀.b₁+a₁.b₀, a₀.b₂+a₁.b₁+a₂.b₀,...)
Si on note X le polynôme (0,1,0,...,0,...) alors le polynôme (a₀,a₁,a₂,...,a_n,0,...,0,...) est égal à a₀+a₁X+a₂X²+...+a_nXⁿ
Ce retour à la base de la définition des polynômes a pour but de rappeler qu'en effet il n'y a pas besoin que le corps ou l'anneau de coefficients soient commutatifs mais X vu comme un polynôme commute avec tous les polynômes, et que X vu comme indéterminée commute avec tous les scalaires.
Ainsi il ne faut surtout pas confondre les structures des polynômes et les fonctions polynomiales sur un corps (ou un anneau) non commutatif : on peut avoir P(X)=Q(X)R(X) chez les polynômes mais que cette égalité soit fausse pour les fonctions polynomiales, exemple chez les quaternions X²+1=(X+i)(X-i) en tant que polynôme mais c'est faux en tant que fonction polynomiale (j+i)(j-i)=-2ij ce qui est non nul contrairement à j²+1.
Maintenant, il n'est pas interdit de regarder ce qui se passe dans un corps engendré par k et un élément etérieur à k tel que x normalise k et donc agit sur k par un automorphisme donné. Mais alors k[x] n'est pas la généralisation des polynômes.

A remarquer que si x est un élément d'un surcorps de F9 laissant stable F9 et est racine d'un polynôme du troisième degré alors x agit trivialement sur F9. En effet, en supposant qu'il n'existe pas de fonction polynômiale à coefficients dans F9 s'annulant en x, on a d'où et on déduit facilement par récurrence, même pas besoin de faire intervenir l'action de x sur F9, que tout élément de la forme P(x), avec coefficients à gauche, est égal à un élément de la forme . Donc l'ensemble A des éléments de la forme est un sous-anneau. A est aussi un ev de dimension 3 sur F9 donc est fini. Pour un élément non nul y de A, l'application A->A qui à z associe yz est injective car yz=yz'=>y(z-z')=0, or ce produit se fait non seulement dans a mais aussi dans le corps engendré par F9 et x donc par absence de diviseurs de zéro z=z'. Tout élément admet donc un inverse (car 1 est atteint par l'application précédente). A est donc un corps i.e. est le corps engendré par F9 et x qui est donc fini.
Si x annule un polynôme de degré 1, alors x est dans F9 et c'est fini. Si x est racine d'un polynôme de degré 2 mais pas de degré 1, on montre de même que le corps engendré par F9 et x est fini (il est simplement de dimension 2 sur F9 et non 3).
Mais un corps fini est commutatif (théorème de Wedderburn) donc x agit trivialement sur F9.
Il en est de même de manière générale si x est un élément d'un surcorps d'un corps fini k qui laisse stable k et est algébrique sur k alors le corps engendré par k et x est fini et commutatif.
Une autre manière de le voir pour le problème posé est que les éléments du corps agissant non trivialement sur F9 sont transcendants.

Reprenons maintenant avec les précisions qui précèdent. On considère l'anneau k<X> (autant le noter différemment de l'anneau des polynômes) les fonctions polynomiales qui à un polynôme P de F9[X] associe la fonction {x agissant non trivialement* sur F9}-><F9,x> y->P(y). *:Il n'y a qu'une action non triviale sur F9. La trancendance de x nous assure que c'est une injection. (l'évaluation sur le seul élément x suffit pour le montrer). Par contre cette injection n'est pas un morphisme d'anneau.
Il suffit par contre de le poser pour se rendre compte que cet anneau possède une "division euclidienne". Comme ces fonctions polynomiales ne s'annulent jamais se poser la question "si P admet une racine a alors (X-a) divise-t-il P ?" n'a pas lieu d'être. D'autre part comme nous ne sommes pas en algèbre commutative cet anneau n'est pas "factoriel" Mias aucun de ces facteurs n'est conjugué modulo F9 à X-1 ou X+1.
Maintenant, on peut essayer de factoriser u(x) dans ce cadre. Comme F9 est fini, il suffit de poser u(X)=(aX-b)(cX-d)(eX-f) de développer et d'égaliser. Ceci fournit 4 équations, il suffit de programmer pour obtenir les solutions.

[rajamia]

merci pour tes explication et pour le temps que t'as consacré pour me répondre je vais bien lire ton message et j'essaie de faire. merci infiniment.