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Intégrales doubles



  1. #1
    lilas03

    Question Intégrales doubles


    ------

    bonjour je voudrais savoir si quelqun pouvait m'expliquer les integrales doubles surtout en ce qui concerne les bornes des integrales.Jai un exemple d'integrale double!
    intégrale double de xy.dx.dy paramétré par x>= 0, y>=0, 1<=x²+y²<=4
    merci de vos réponses

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Intégrales doubles

    La symétrie du problème doit t'encourager à passer en coordonnées polaires.
    dx dy c'est l'élément de surface dans le plan x0y entre 2 quarts de cercle.
    L'élément d'aire en polaire c'est dr * r * d@

  4. #3
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    oulala pas de coordonnée polaire
    je suis archi nulle avec ça!c'est un changement de variable alors??

  5. #4
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    quelqun pourrait me résoudre cette intégrale en m'expliquant svp

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite43219988

    Re : Intégrales doubles

    C'est plus facile par un changement de variable mais l'essentiel est que tu comprennes le principe !
    Munis toi d'une feuille de papier quadrillé et trace un repère orthonormal.

    Le but est de dessiner le domaine d'intégration.

    On sait que x>=0, y>=0 et 1<=x²+y²<=4
    x positif et y postifi implique déja qu'on se situe dans le carré en haut à droite de ton repère.
    Maintenant, il te suffit de tracer les cercles d'équation x²+y²=4 et x²+y²=1 (seule le partie dans le carré en haut à droite nous interesse) et tu obtiens ton domaine d'intégration (qui est un quart d'anneau).
    Maintenant la question c'est : comment décomposer l'intégrale ?
    x²+y²=4 => y= + ou - racine(4-x²)
    x²+y²=1 => y= + ou - racine(1-x²)
    Ici, les y sont positifs, on retient donc y=racine(4-x²) et y=racine(1-x²).
    On fait maintenant un choix, disons que l'on fait varier x.
    Le but est de déterminer de ou à où varie y lorsque x varie de 0 à 4 (ce qui permet de balayer tout le domaine).

    Lorsque x varie de 0 à 1, y varie de racine(1-x²) à racine(4-x²) et lorsque x varie de 1 à 4, y varie de 0 à racine(4-x²). (on voit tout cela surun dessin correct sans problème).


    On a donc l'intégrale :

    Il ne te reste plus qu'à intégrer tout ça !
    (c'est plus facile en polaire mais le principe est le même)

  8. #6
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    daccord merci jai pas mal compris comme ça
    je viens de faire mon dessin ya juste un petit detail que je comprend toujours pas c'est commen on sai que qd x varie de 0 a 1 y varie de racine(1-x²) a racine de (4-x²)??
    merci bcp pour le reste

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  10. #7
    invite43219988

    Re : Intégrales doubles

    Pour x compris entre 0 et 1, colorie le domaine d'intégration.
    Les valeurs de y comprises dans ce "sous-domaine" que tu as colorié sont les valeurs de y qui sont comprises entre le quart de cercle le plus petit et le quart de cercle le plus grand.
    Le plus petit quart de cercle a pour équation y=racine(1-x²) et le plus grand a pour équation y=racine(4-x²).

    Pour ce genre de domaine d'intégration, les coordonnées polaires sont particulièrement avantageuses car les variations de r et teta sont bien plus simples à décrire.
    Par exemple dans notre cas, lorsque teta varie de 0 à Pi/2, r varie de 1 à 4 (ce qui se voit tout aussi bien sur le dessin).
    Il n'est même pas nécessaire dans ce cas de séparer l'intégrale...

  11. #8
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    oki jai compris pour les bornes.
    Et en coordonnée polaire sa donne quoi je suis daccor pour les bornes aussi lmais va falloir que jai des cos et sin je suppose ??

  12. #9
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    a la fin du calcul je trouve quelque chose de négatif -129/3 je pense que c'est pas bon!!

  13. #10
    invite43219988

    Re : Intégrales doubles

    Je me rends compte que je me suis trompé sur un truc : x ne varie pas de 1 à 4 mais de 1 à 2 puisque x²+y²=4 est un cercle de rayon 2...

  14. #11
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    a oui daccord mais je pense que ce que je vais retrouver sera aussi négatif!
    Tu peux mexpliquer avec les coordonnée polaire STP merci

  15. #12
    invite43219988

    Re : Intégrales doubles

    Bon alors tu dois trouver 15/8.

    On a
    dxdy=rdrdt (voir formule changement de variable avec jacobien et tout le tralala).
    x=rcos(t)
    y=rsin(t)



    Tu dois trouver la même chose en integrant avec x et y normalement ! (en prenant en compte mon erreur du message précédent)

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  17. #13
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    merci beaucoup je vais le refaire et je te dis si je trouve ça.C'est super sympa d'aider les gens parce que j'ai partiel bientot et je me rend compte que jai quelques lacunes.Par la meme occasion si tu pouvais m'expliquer les intégrales curvilignes ça serais génial!MERCI bcp

  18. #14
    invite43219988

    Re : Intégrales doubles

    Ah je suis désolé mais les intégrales curvilignes je connais pas (c'est ça de glandouiller en cours... maintenant j'ai du retard mais je vais rattrapper tout ça !)
    Désolé encore !

  19. #15
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    merci beaucoup pour les explications c'est pas grave pour les integrales curvilignes!<je vais lancer un SOS lol>

  20. #16
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    petit probleme avec la premiere facon je trouve 45/4 je compren pas pk???

  21. #17
    invite43219988

    Re : Intégrales doubles


  22. #18
    lilas03

    Re : Intégrales doubles

    merci ganash mais jai une autre tite question jai pris ton adresse msn tu peu maccepter

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  24. #19
    invite43219988

    Re : Intégrales doubles

    Je me suis encore trompé, le résultat est bon mais j'ai encore écrit 4 au lieu de 2.
    Sinon je ne te vois pas sur MSN pour le moment mais je laggue un peu...

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